离散型随机变量的分布列、期望、方差复习指导.docVIP

离散型随机变量的分布列、期望、方差 复习指导 　　学习要求： 了解随机变量，离散型随机变量的意义，会求简单的离散型随机变量，掌握离散型随机变量的分布列，会求出期望、方差。 　　知识总结： 　　一、离散型随机变量的分布列 　　1.随机变量：如果一个随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，可以按一定次序列出的随机变量叫做离散型随机变量，常用ξ，等希腊字母表示 　　2.离散型随机变量的分布列 ：若离散型随机变量ξ的一切可能取值为：a1, a2, ……, an, ……, 相应取这些值的概率为：p1，P2，……, Pn, ……，则称下表： 　　 　　为离散型随机变量ξ的概率分布列，简称ξ的分布列。 　　离散型随机变量的分布列具有的两个性质： ①Pi0(i=1,2,……,n,……) 　②P1+P2+……+Pn+……=1 　　一种典型的离散型随机变量的分布列： 　二项分布：设重复独立地进行n次随机试验A，在每一次试验中，P(A)=P(0P1)，ξ为n次试验中A发生的次数，则ξ的分布列为： 　　 　　称ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,P) 　　注：是二项展开式 　　[P+(1-P)]n=++……++……+ 　　中的第k+1项。　　P1+P2+……+Pn=++……+=[P+(1-P)]n=1。 　　二、离散型随机变量的期望与方差 　　1．期望：设离散型随机变量ξ的分布列是： ξ a1 a2 …… an …… p p1 p2 …… pn …… 称a1p1+a2p2+……+anpn+……为ξ的数学期望，简称期望，记作Eξ。 　　期望的性质： ①若=aξ+b (a,b均为常数), 则E=aEξ+b。 ②E(ξ1+ξ2)=Eξ1+Eξ2。 ③若ξ～B(n, p), 则Eξ=np 　　注：期望Eξ是反映随机变量ξ集中趋势的指标，也反映了ξ取值的平均水平。 　　2．方差: 设离散型随机变量ξ的分布列是 ξ a1 a2 …… an …… p p1 p2 …… pn …… 称(a1-Eξ)2p1+(a2-Eξ)2p2+……+(an-Eξ)2pn+……为随机变量ξ的均方差，简称方差，记作Dξ。 　　称为随机变量ξ的标准差，记作。 　　方差的性质： 　　①D(aξ+b)=a2Dξ 　　②若ξ～B(n, p), 则Dξ=np(1-p) 　　注：方差与标准差都反映了ξ关于期望的稳定与波动、集中与离散的程度。 　　3. 期望与方差的关系： Dξ=E(ξ)2_ (Eξ)2 例题选讲： 　　例1．设离散型随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 4 P 　　分别求2ξ+1，|ξ-1|的分布列。 　　解：2ξ+1的分布列为： 2ξ+1 1 3 5 7 9 P 　　|ξ-1|的分布列为： |ξ-1| 0 1 2 3 P 　　注：ξ取不同的值时，y=f(ξ)会取到相同的值，这时要考虑所有使f(ξ)=成立的ξ1，ξ2，……，ξp等值，则p()=p(f(ξ))=p(ξ1)+p(ξ2)+……+p(ξp) 　　例2．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布。 　　解：由题意，得到的次品数ξ～B(2,5%)。P(ξ=0)=(95%)2=0.9025 ,P(ξ=1)=(5%)(95%)=0.095 　 　P(ξ=2)=(5%)2=0.0025 因此，次品数ξ的概率分布为： ξ 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025 　　注：一批产品可以认为数量较大，从中任意地连续取出2件，相当于2次独立重复试验，得到的次品数ξ服从二项分布。 　　例3．设ξ的分布列为p(ξ=k)=,(k=0,1,2,……,10)，求：（1）a；（2）p(ξ≤2)；（3）p(9ξ20)。 　　解：（1）根据分布列的性质：p(ξ=0)+p(ξ=1)+……+p(ξ=10)=1。 　　即 a(1+)=1 　　a=。 　　(2)P(ξ≤2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=。 　　(3) P(9ξ20)=p(ξ=10)=。 　　注：分布列可有如下几种表示形式: 　　①表格，②一组等式（ξ的所有取值的概率）, ③对②进行简化表示，如本例题给出的形式。 　　例4．一批零件中有九个合格品，三个次品，安装机器时，从这批零件中随机抽取，取出的是废品则不放回，求在第一次取到合格品之前取到废品数ξ的分布列。 　　解：由题意知ξ可取0，1，2，3，则 P(ξ=0)= ,　P(ξ=1)= 　　P(ξ=2)=。 　　P(ξ=3)=。 　　所以ξ的分