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于是当
于是当x 0时，f (x) 0，故f (x)单调递增.
2013年全国各省市高考文科、理科数学 函数与导数大题
1 (本小题共
1 (本小题共 13分)(2013 北
匕京.理)
设丨为曲线C : y ln在点(1,0)处的切线.
x
)求I的方程;
解:In x 1 In xy y)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线I的下方. (I ) ■、，In X ” 1 In x ,所以 I 的斜率
解:
In x 1 In x
y y
k y 1 1
所以l的方程为y x 1
(II )证明：令 f (x) x(x 1) In x(x 0)
1 (2 x 1)( x 1)
贝 y f (x) 2x 1
? ?
x x
在(0, 1)上单调递减，在(1, + X)上单调递增，又
f x
()
x (0,1)时，f ( x)
f (1) 0
x (1,)时，f (x)
In x
0 , 即 卩 x 1
x
In x
0，即
x
即除切点(1, 0)
之外，曲线
C在直线l的下方
2.
(13分)(2013?北京.文)
已知函数f (x) x2
x sin x cos x
(1)
若曲线y
若曲线y
f (x)在点(a, f (a ))处与直线y b相切，
f (x)与直线y b有两个不同交点，求
解: (1) f (x)
2x x cos x ,因为曲线y
Hr =
求a与b的值;
b的取值范围.
f ( x)在点(a, f ( a))处与直线 y b
所以：f (a) 0
所以：f (a) 0
f (a), b
3 0 故 a 0,b
b 1 1
相切，
2a a cosa 0
2
a asin a cosa b
⑵ f (x) x(2
cos x)
当x 0时，f (x) 0，故f (x)单调递减.
所以当x 0时，f (x)取得最小值f (0) 1 ,
故当b 1时，曲线y f (x)与直线y b有两个不同交点?故 b
的取值范
围是(1,).
3. (2013广东.理)(14分)设函数f x x ex
R).
kx (其中k
(I )当k 1时,求函数f x的单调区间; 当
时,求函数
1
f x在0,k上的最大值M .
【解析】(I)当
x
x 2
x
(Y )
x
x
()
x
(p)
令f x
0/ 得)X
, + X2 I 0
n 2
—
+
当x变化
时,t )
u
x , f 一 X 的
变化如下
Be :
1
e
x
x e
T x
2
xe x
1
x, f x e x 1 e 2x
-^0
0
0,In 2 , In 2
()
0
0
极大
极小
—— ---
=(-)
值
值
)
右 表可知 ,
x的递减区间为
0,ln 2，递增区
,0 , In 2,
)一
X )=_-
2kx xe
2kx x
(戶 令f x 0 ,得x
珂(1
k ,则:
g k
令 g k In
e(
2k
—
x k ,
2 In 2
1 -
e(
1 k
增,
所以g
「k
所以当
所以M
令 h k
In 2
0,In
1 In 2 Ine
1 k
()=
0,从而In 2k
e
x
)
2k ,
)e【
()址)
0 ,所以g k
)
1
,1
2
上递
k ,所以In
2k
0,k
2k 时,f x 0 ;当 x In
k
max f 0 , f k max 1, k 1 e k e k3 ,贝廿 h k k e
2k ,时,f
3
k
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