数学奥林匹克高中训练题(01)及答案.docVIP

数学奥林匹克高中训练题（01） 第一试 一、选择题（本题满分30分，每小题6分） 1．(训练题06)设，对任意自然数，定义，则的解析式为(C)． (A) (B) (C) (D) 2．(训练题06)若，则从小到大的顺序是(A)． (A) (B) (C) (D) 3．(训练题06)自然数满足等式，则(B)． (A)是质数 (B)是合数 (C)可能是质数，也可能是合数 (D)既不是质数，也不是合数 4．(训练题06)一圆台的上底半径为，下底半径为，母线为，现有一蚂蚁从下底面圆周的点，绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的点爬行的最短路线是 (A)． (A) (B) (C) (D) 5．(训练题06)若复数的共轭复数是，且又为定点，则函数取最大值时在复平面上以三点为顶点的图形是(C)． (A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形 6．(训练题06)若是钝角三角形，则的值域是(C)． (A) (B) (C) (D) 二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．(训练题06)满足不等式的点的集合是． 2．(训练题06)一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为，圆柱的体积为，且，则的最小值是 ． ADCBPO3．(训练题06)一个三位自然数称为凹数，如果同时有（例如都是凹数而都不是凹数），则所有的凹数的个数是 285 A D C B P O 4．(训练题06)如图，已知椭圆且，动点在上移动，则的面积的最小值是 ． 5．(训练题06)四次方程的四个根当中的两个的积是24，则的值是 140 ． 6．(训练题06)四个正数之和为4，平方和为8，则这四个数中最大的那个数的最大值是 ． 三、(训练题06)(本题满分20分)是互不相等的自然数， 证明：． 四、(训练题06)(本题满分20分)设分别在正方形的边上，与以为半径的圆相切，线段与分别交对角线于，证明：五边形内接于圆． T T N M P D C B A O Q 五、(训练题06)(本题满分20分)100个火柴盒，标号为1至100.我们可以问其中任15个盒子总共含有的火柴为奇数或偶数，至少要问几才能确定1号盒子里的火柴数的奇偶性． (3个问题) 第二试 OGFEDCBAP一、(训练题06)(本题满分35分)右图中都是正三角形，线段FG∥BA，连相交于，连并延长与的延长线相交于，证明： O G F E D C B A P 二、(训练题06)(本题满分35分)假定和都是由不相等的复数所组成的序列，已知对均有.证明：对任何，乘积都等于同一常数，并求出此常数． 三、(训练题06)(本题满分35分)证明任意个介于和之间(包括104和208)的不同的正整数，其中必有两个数不互素(即此二数的最大公约数大于1)．