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数学奥林匹克高中训练题(02)
第一试
一、选择题(本题满分30分,每小题5分)
1.(训练题07)十个元素组成的集合.的所有非空子集记为,每一非空子集中所有元素的乘积记为.则(C).
(A)0 (B)1 (C) -1 (D)以上都不对
2.(训练题07)△ABC的三个内角依次成等差数列,三条边上的高也依次成等差数列.则为(B)
(A)等腰但不等边三角形 (B)等边三角形 (C)直角三角形 (D)钝角非等腰三角形
3.(训练题07)对一切实数,不等式恒成立.则的取值范围是(A)
(A) (B) (C) (D)
4.(训练题07)若空间四点满足,则这样的三棱锥共有(A)个.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)多于2
5.(训练题07)已知不等式时恒成立,则的取值范围是(B)
(A) (B) (C) (D)
6.(训练题07)方程在复数集内根的个数为.则(C)
(A)最大是2 (B)最大是4 (C)最大是6 (D)最大是8
二、填空题(本题满分30分,每小题5分)
1.(训练题07)函数的值域是________
2.(训练题07)已知椭圆,焦点为,,为椭圆上任意一点(但点不在x轴上),的内心为,过作平行于轴的直线交于.则________.
3.(训练题07)为的三个内角,且.则_____.
4.(训练题07)实数满足.则的最小值是____.
5.(训练题07)在一次足球冠军赛中,要求每一队都必须同其余的各个队进行一场比赛,每场比赛胜队得2分,平局各得1分,败队得0分.已知有一队得分最多,但它胜的场次比任何一队都少.若至少有队参赛,则=__6____.
6.(训练题07)若是一个完全平方数,则自然数 14 .
三、(训练题07)(本题满分20分)若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4,求这个正三棱锥的体积的最大值.(18)
四、(训练题07)(本题满分20分)一个点在轴上运动的速度为2米/秒,在平面其它地方速度为1米/秒.试求该点由原点出发在1秒钟内所能达到的区域的边界线.
五、(训练题07)(本题满分20分)已知为虚数,且是方程的实根.求实数的取值范围.()
第二试
一、(训练题07)(本题满分20分)在中,为边上的任一点,于,于,交于.
求证:.
二、(训练题07)(本题满分35分)用个数(允许重复)组成一个长为的数列,且.证明:可在这个数列中找出若干个连续的项,它们的乘积是一个完全平方数.
三、(训练题07)(本题满分35分)空间中有100个点,其中每四点都不在同一平面上,每三点都不在同一条直线上,每一点都与其它33点连红线,与另33点连黄线,与最后的33点连蓝线.证明:一定会出现一个三边均不同色的三角形.
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