函数的连续性.docxVIP

第九节 函数的连续性和间断点 有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。 首先，我们应注意到连续性也是客观现实的反映， 是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。 如气温 T 随时间 t 的变化而连续变化， 铁棒长度 l 随着温度 u 的变化而连续变化等。 它们的共同特性是： 一方面在变化， 另一方面是在逐渐变化的。可在很短一段时间内， T 的变化很小；同样当温度 u 变化很小时， l 的变化也很小。这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时， 函数的变化也是微小的。下面我们就专门来讨论这种概念。 一、函数的连续性 预备知识 改变量：设变量 u 从它的一个初值 u1 变到终值 u2 ，终值与初值的差 u2 u1 ，就叫 u 的改变量，记作 u u2 u1 。改变量也叫增量。 注意：① u1 ， u2 并不是 u 可取值的起点和终点，而是 u 变化过程中从 u1 变到 u2 。 ② u 可正可负。 ③ u 是一个整体记号，不是某个量 与变量 u 的乘积。 2. 函数 y f x 在 x x0 处连续的定义 y 定义 1 当自变量 x 在点 x0 的改变 量 x 为无穷小时，相应函数的改变量 y f x y f x0 x f x0 f x f x0 也是同一过程中的无穷小量，即 lim y 0 ， x 0 则称 f x 在 x0 处连续，见图 1-37. f ( x0 ) 定理 1 f x 在 x0 处连续的充要条 x 件是 lim f x f x0 。 O x0 x0 x x0 证明 由定义 1， 图 1-37 lim y 0 lim f x f x0 0 x 0 x x0 lim f x lim f x0 0 x x0 x x0 lim f x f x0 . x x0 由定理 1，我们可将定义 1 改写为以下定义 2. 定义 2 如果 0 ， 0 ，当 x x0 时，有 f x f x0 x0 处连续。 函数 y f x 在点 x0 连续的要求 ⑴ f x 在点 x0 有意义，即有确定的函数值 f x0 ； lim f x 存在； x0  y f ( x0 x) x x ，则 f x ⑶极限值 函数值，即 lim f x f x0 。 x x0 这三要素缺一不可。 连续与极限的区别 当 f x 在 x0 处有极限时， f x 在 x0 处可无定义，也可有 lim f x f x0 。 x x0 而当 f x 在 x0 处连续时， f x 在 x0 一定有意义并且 lim f x f x0 必成 x x0 立。 所以，函数 y f x 在点 x0 处连续，则函数 y f x 在 x0 点处必有极限，反 之不成立。 5. 左右连续 定义 3 如果 lim f x f x0 0 f x0 ，则称 f x 在 x0 处右连续；如果 x x0 lim f x f x0 0 f x0 ，则称 f x 在 x0 处左连续。 x x0 所以 f x 在 x0 处连续亦可用以下定义描述。 定义 4 若 f x0 0 f x0 0 f x0 ，即函数 y f x 在点 x0 处左极限等 于右极限等于函数值，则函数 y f x 在点 x0 处连续。 f x 在某区间连续 ⑴ f x 在 a,b 内连续是指 x0 a,b ， f x 在 x0 处连续。 ⑵ f x 在 a,b 上连续是指 f x 在 a, b 内连续，在 x a 点右连续，在 x b 点左连续。 注意：证明分断点处的连续性时一定要用定义 4. 若 f x 在 a,b 内连续，则称 a, b 为 f x 的连续区间。 连续函数的几何意义 连续函数 y f x 的图形是一条不断开的曲线。 例1 证明 y f x 3x 1在 x 1 处连续。 证明 注意 y f 1 x f 1 3 1 x 1 3 1 1 3 x ，所以 lim 0 y lim 3 x 0 ， y x x 0 从而 y 在 x 1 处连续。 1 x, x 0 1 例2 讨论 f x 1, x 0 在 x 0 处的 1 x, x 0 -1 1 连续性。 O x 解 因为 f 0 0 lim f x lim 1 x 1 ， x 0 x 0 f 0 0 lim f x lim 1 x 1 ，  1-38 x 0 x 0 f 0 1， 所以 f 0 0 f 0 0 f 0 。由定义 4， f x 在 x 0 处连续，见图 1-38. 例3 证明多项式函数在 ( , ) 内连