《备战2020年高考》2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)专题04立体几何(解析版).pdf

专题 04 立体几何 1．【 2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥 P- ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA=PB=PC ，△ABC 是 边长为 2 的正三角形， E，F 分别是 PA ，AB 的中点，∠ CEF=90°，则球 O 的体积为 A ． 8 6 B ． 4 6 C． 2 6 D ． 6 【答案】 D 【解析】解法一： PA PB PC,△ABC 为边长为 2 的等边三角形， P ABC 为正三棱锥， PB AC ，又 E ， F 分别为 PA ， AB 的中点， EF ∥PB ， EF AC ，又 EF CE ， CE AC C , EF 平面 PAC ，∴ PB 平面 PAC ， APB PA PB PC 2 ， 6 4 3 4 6 6 P ABC 为正方体的一部分， 2 R 2 2 2 6 ，即 R , V R π 6 ， 2 3 3 8 故选 D ． 1 解法二：设 PA PB PC 2x ， E, F 分别为 PA, AB 的中点， EF∥PB ，且 EF PB x ， 2 △ABC 为边长为 2 的等边三角形， CF 3 ， 2 1 又 CEF 90 ， CE 3 x , AE PA x ， 2 2 2 x 4 3 x △AEC 中，由余弦定理可得 cos EAC ， 2 2 x 2 2 AD 1 x 4 3 x 1 作 PD AC 于 D ， PA PC ， D 为 AC 的中点，cos EAC ， ， PA 2x 4x 2x 1 2 2 1 2 2x 1 2， x