华师大版-数学-九年级上册-解直角三角形总结.docx

初中-数学-打印版 初中-数学-打印版 初中-数学-打印版 初中-数学-打印版 第二十四章解直角三角形总结 解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在 深入研究几何图,形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和 而积，以及与之相关的几何图形的数量。 1、明确解直角三角形的依据和思路 在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。因此，锐 角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。 如图1,在Rt^ABC中，ZC = 90°,设三个内角A、B、C所对的边分别为a、 b、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是 （1）边角之间的关系： siaA — cosB = -， cosA — cosB — — , tan A — cosB = -， cotA = tan Z? = — o c c b a （2）两锐角之间的关系： A + B=90。。 （3）三条边之间的关系： O 以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根据已知条件, 正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。 2、解直角三「角形的基本类型和方法 我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形, 而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角 三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？ 事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知 两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此 时直角三角形是确「定的，所以这样的直角三角形是可解的。由于已知两个锐角的直角三 角形是不确定的，它r们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。所以，要 解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。这样，解直角三 角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。四种基本类 型和解法列表如下： 1 已知条件 解法 1 边及 锐角 直角边a及锐角A B=90°-A, b=a- tan A ? c=" sin A 斜边c及锐角A B=90°-A, a=c- siaA > b=c- cosa 两边 两条直角边a和b C , b = 90°-A, b = JU 直角边a和斜边c siaA = -, B=90°-A, b =归 - d c 例1、如图2,若图中所有的三角形都是直角三角形，且NA = a, AE=1,求AB的 长。 分析一：所求AB是RS ABC的斜边，但在RSABC中只知一个锐角A = "，暂 不可解。而在RSADE中，已知一直,角边及一锐角是可解的，所以就从解RMADE入 手。 AF AF 1 解法一：在 RtA ADE 中，= cosA = ,且NA = a, AE=1, AAD= = , AD cos A cos a ] 在 R3 ADC 中，?.?cosA =迫,.,.AC=H = _2￡^ = _17_, A C cos A cos a cos' a 1 , , , AC AC ccT. 1 在 RJ ABC 中,VcosA =——/.AC= = LOS a =——. AB cos A cos a cos a 分析二；观察图形可知，CD、CE分别是Rb ABC和RS ACD斜边上的高，具备 应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。 解法二：同解法一得，，人口二一!一， cos a , 4 , 心 1 在 RtA ACD 中，VAD2=AE.ACAAC= =——, AE cos~ a AC- | 在 RtA ABC 中，?: AC2=AD.AB :. AB=二一=—一。 AD cos a 说明：本题是由几个直角三角形组合而成的图形。这样的问题，总是先解出已经具 备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注 意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形 时经常要用到。 在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形(图3),它是含有两个直 角三角形的图形。随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量 相应的变化，从而呈现许多不同的解直角三角形的问题，下而举例加以说明。 例2、如图3,在R3 ABC中，ZC=90°, AD是BC边上的中线。 (1)若 BD=JT, ZB = 30°,求 AD 的长： (2)若NABC=g, NADC=￡,求证：tan J3 =2t^n aa (1)分析：由AD是BC边的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在RS ADC 中求解AD。而在Rt/kABC中，由已知BC边和NB可以先求出AC,从而使