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全等三角形判定一( SSS,ASA,AAS)(提高)
【学习目标】
1.理解和掌握全等三角形判定方法 1——“边边边”,判定方法 2——“角边角”,判定方法
3——“角角边”;能运用它们判定两个三角形全等.
2.能把证明角相等或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等.
【要点梳理】
要点一、全等三角形判定 1——“边边边”
全等三角形判定 1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等 .(可以简写成“边边边”或“ SSS”).
要点诠释:如图,如果 A'B'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC,则△ABC≌△A'B'C'.
要点二、全等三角形判定 2——“角边角”
全等三角形判定 2——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ ASA”).
要点诠释:如图,如果∠A=∠A',AB=A'B',∠B=∠B',则△ABC≌△A'B'C'.
要点三、全等三角形判定 3——“角角边”
全等三角形判定3——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“角角边”或“AAS”)
要点诠释:由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等,也就是说,用角边角条件可以证明角角边条件,后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等 .
如图,在△ABC和△ADE中,如果DE∥BC,那么∠ADE=∠B,∠AED=∠C,又∠A=∠A,
但△ABC和△ADE不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等 .
要点四、如何选择三角形证全等
可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能全等
的三角形中,可以证这两个三角形全等;
可以从已知出发,看已知条件确定证哪两个三角形全等;
由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等;
4.如果以上方法都行不通,就添加辅助线,构造全等三角形 .
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定 1——“边边边”
1、如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,BD=CE,求证:∠BAD=∠CAE.
【答案与解析】
证明:在△ABD和△ACE中,
AB
AC
AD
AE
BD
CE
∴△ABD≌△ACE(SSS)
∴∠BAD=∠CAE(全等三角形对应角相等) .
【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题, 转化为证明它们所在的两个三角形全等,
合应用全等三角形的判定和性质 . 要证∠BAD=∠CAE,先找出这两个角所在的三角形分别是
综
△BDA和△CAE,然后证这两个三角形全等 .
举一反三:
【变式】(2014秋?双峰县校级期中) 如图,已知 AB=DC,若要用“SSS”判定△ABC≌△DCB,
应添加条件是 .
【答案】AC=DB.
类型二、全等三角形的判定 2——“角边角”
2、如图,G是线段AB上一点,AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF,交AC于点F;然后证明:当AD∥BC,AD=BC,∠ABC=2∠ADG时,DE=BF.
【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC=∠C,∠CBF=∠ADG,则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】
证明: ∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠C
BF平分∠ABC
∴∠ABC=2∠CBF
∵∠ABC=2∠ADG
∴∠CBF=∠ADG
在△DAE与△BCF中
ADG
CBF
AD
BC
DAC
C
∴△DAE≌△BCF(ASA)
∴DE=BF
【总结升华】 利用全等三角形证明线段
(线段)为内角(边)的两个三角形;(2)
所要证的角(线段)相等.
举一反三:
(角)相等的一般方法和步骤如下:(1)找到以待证角证明这两个三角形全等;(3)由全等三角形的性质得出
【变式】已知:如图,在△ MPN中,H是高MQ和NR的交点,且 MQ=NQ.
求证:HN=PM.
【答案】
证明:∵MQ和NR是△MPN的高,
∴∠MQN=∠MRN=90°,
又∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∠3=∠4
∴∠1=∠2
在△MPQ和△NHQ中,
2
MQNQ
MQPNQH
∴△MPQ≌△NHQ(ASA)
PM=HN
类型三、全等三角形的判定 3——“角角边”
3、(2016?黄陂区模拟)如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过C点作直线 l,
点D,E在直线l上,连接AD,BE,∠ADC=∠CEB=90°.求证:△ADC≌△CEB.
【思路点拨】 先证明∠DAC=∠ECB,根据AAS证△ADC≌△CEB.
【答案与解析】 证明:∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°,
∴∠DAC=
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