数学思想与数学文化历史上的三次数学危机.pptx

《数学思想与数学文化》第六讲  历史上的三次数学危机;第六讲  历史上的三次数学危机;前 言 历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。 ; 一. 第一次数学危机; 1.这一危机发生在公元前5世纪，危机 来源于：当时认为所有的数都能表示为整 数比，但突然发现 不能表为整数比。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的. 2. 危机的实质： 是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需要添加无理数. ;☆当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了 是无理数的实质，而是用几何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《几何原本》中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。 ;3. 危机的解决 但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数系的扩张。直到人类认识了实数系，这次危机才算彻底解决，这已经是两千多年以后的事情了。 ; 二. 第二次数学危机; 1．危机的引发 1）牛顿的“无穷小” 牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。 微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。; 例如，设自由落体在时间 下落的距离为 ，有公式 ，其中 是固定的重力加速度。我们要求物体在 的瞬时速度，先求 。 ∴ （*）; 当 变成无穷小时，右端的 也变成无穷小，因???上式右端就可以认为是 ，这就是物体在 时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。 牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。; 2）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。 贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？; 如果是0，上式左端当 成无穷小后分母为0，就没有意义了。如果不是0，上式右端的 就不能任意去掉。 ; 贝克莱还讽刺挖苦说：即然 和 都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。 这就是著名的“贝克莱悖论”。 对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，;贝克莱的质问是击中要害的; 3）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其他数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”; 2．危机的实质 第一次数学危机的实质是 “ 不是有理数，而是无理数”。那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。; 其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。 当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比——例如（*）式中的gt，它不是“最终的量的比”，而是“比所趋近的极限”。 ; 他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思。 德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的