同济第六版《高等数学》教案WORD版-第04章不定积分.docx

高等数学教案 第四章不定积分 高等数学教案 第四章不定积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案 第四章不定积分 高等数学教案 第四章不定积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 第四章不定积分 教学目的： 1、 理解原函数概念、不定积分的概念。 2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法(第一，第二) 与分部积分法。 3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、 不定积分的概念； 2、 不定积分的性质及基本公式； 3、 换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、 换元积分法； 2、 分部积分法； 3、 三角函数有理式的积分。 §4 1不定积分的概念与性质 、原函数与不定积分的概念 定义1如果在区间I上 可导函数F(x)的导函数为f(x)即对任一 x I都有 F (x) f(x)或 dF(x) f(x) dx 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数 例如 因为(sin x) cos x 所以sin x是cos x的原函数 又如当x (1 )时 因为(iX)1 因为(iX) 1 2： x 的原函数 提问： cos x 禾口 cos x 禾口 1还有其它原函数吗? 2、x 原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续 那么在区间I上存在可导函数 F(x)使对任 一 x I都有 F (x) f(x) 简单地说就是连续函数一定有原函数 两点说明 第一 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)那么f(x)就有无限多个原函数 F(x) C都是f(x) 的原函数其中C是任意常数 第二f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数 贝U (x) F(x) C (C为某个常数) 定义2在区间I上 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不 定积分记作 f(x)dx 其中记号 称为积分号f(x)称为被积函数 f(x)dx称为被积表达式 x称为积分变量 根据定义 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数 那么F(x) C就是f(x)的不定积分 即 f (x)dx F(x) C 因而不定积分 f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数 例1因为sin x是cos x的原函数 所以 cosxdx sinx C 因为、x是—dx ln( x) C (x<0)x —dx ln( x) C (x<0) x 合并上面两式得到 1 — dx In |x| C (x 0) x 例3设曲线通过点(1 2)且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的 方程 解设所求的曲线方程为 y f(x)按题设 曲线上任一点(x y)处的切线斜率为y f (x) 2x, 即f(x)是2x的一个原函数 因为 2xdx x2 C 2jx ―-^= dx ( x C 2, x 例2.求函数f (x)丄的不定积分 x 解：当x>0时(In x)丄 x 1 dx In x C (x>0) x 1 i 当 x<0 时［ln( x)］丄(1)丄 x x 高等数学教案 第四章不定积分 高等数学教案 第四章不定积分 (8)内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 (8) 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案 第四章不定积分 高等数学教案 第四章不定积分 (8)内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 (8) 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 故必有某个常数 C使f(x) x 2 c即曲线方程为y X 2 C 因所求曲线通过点(1 2)故 2 1 C C 1 于是所求曲线方程为 y x2 1 积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为 f(x)的积分曲线 从不定积分的定义 即可知下述关系 急 f(x)dx] f(x) 或 d[ f(x)dx] f(x)dx 又由于F(x)是F (x)的原函数 所以 F (x)dx F(x) C 表示)或记作 dFx) F(x) C 表示) 由此可见 微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算 以记号 是互逆的当记号与d连在一起时或者抵消或者抵消后差一个常数 二、基本积分表 (1) kdx kx C (k 是常数) (2) x dx x 1 C 1 1 ⑶ Ldx In |x| C x (4) exdx ex C (5) ax (5) axdx ax Ina (6) cosxdx sinx C (7) sinxdx cosx C ^^dx cos2 ^^dx cos2x sec? xdx tan x C (9)斗dx esc2 xd