专题25立体几何与空间向量A辑（解析版）.docx

PAGE1 / NUMPAGES2 2021年高考数学压轴必刷题（第二辑） 专题25立体几何与空间向量A辑 1．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（ ） A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 【答案】B 如图所示，分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，连接B1D1， ∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥B1D1，EF∥B1D1， ∴MN∥EF，又MN?平面BDEF，EF?平面BDEF，∴MN∥平面BDEF； 连接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB， 可得NF∥AB，NF＝AB，则四边形ANFB为平行四边形， 则AN∥FB，而AN?平面BDEF，FB?平面BDEF，则AN∥平面BDEF． 又AN∩NM＝N，∴平面AMN∥平面BDEF． 又P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面BDEF，∴P点在线段MN上． 在Rt△AA1M中，AM， 同理，在Rt△AA1N中，求得AN，则△AMN为等腰三角形． 当P在MN的中点时，AP最小为， 当P与M或N重合时，AP最大为． ∴线段AP长度的取值范围是[，]． 故选：B． 2．如图，在边长为4的正三角形中，为边的中点，过作于．把沿翻折至的位置，连结．翻折过程中，有下列三个结论： ①； ②存在某个位置，使； ③若，则的长是定值． 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 对①，于，，平面， ，故①正确； 对②，假设存在某个位置，使，，， 平面，，又由①知，平面， ，，这显然是不可能的，故假设错误，故②错误； 利用排除法，可得B正确； 故选：B. 3．如图，一张纸的长、宽分别为，，四条边的中点分别是，，，，现将其沿图中虚线折起，使得，，，四点重合为一点，从而得到一个多面体，关于该多面体有下述四个结论： ①该多面体是六面体； ②点到棱的距离为； ③平面； ④该多面体外接球的直径为， 其中所有正确结论的序号是（ ） A．①④ B．③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 解：结论①中，长、宽分别为，，，，，分别是其四条边的中点， 现将其沿图中虚线折起，， ，，，四点重合为一点，从而得到一个多面体， 如图，以，，，为顶点的三棱锥， 故①错误； 结论②中，，，三角形是等腰直角三角形， 所以点到棱的距离为，故②正确； 结论③中，，，，所以平面，故③正确； 结论④中，三棱锥扩展为长方体， 三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的外接球直径是长方体的体对角线. 设长方体的三边为：，，， 可得， 相加可得， 该多面体外接球的直径为，故④正确. 所有正确结论的序号是：②③④. 故选：D. 4．如图，三棱锥中，平面，，为中点，下列说法中 （1）； （2）记二面角的平面角分别为; （3）记的面积分别为; （4）, 正确说法的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C (1)∵PA⊥平面ABC，根据最小角定理可得，， ∴，故(1)错； (2)如图,过A作AM⊥BC于M,因为PA⊥平面ABC，所以AP⊥BC，又，所以BC⊥平面APM，所以PM⊥BC， 则， 过M作∠PMA的角平分线交PA于点E,则, ∴点E在点Q的下方,故,∴则， 故(2)错； (3)如图,，,， ∴，而， 所以，所以，故(3)正确； (4)在 中，，在中，在中，， ， 而，又是钝角，所以 ，所以， ，， 所以.故(4)正确； 故选：C. 5．在正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（ ） A．点F的轨迹是一条线段 B．与BE是异面直线 C．与不可能平行 D．三棱锥的体积为定值 【答案】C 对于，设平面与直线交于点，连接、，则为的中点 分别取、的中点、，连接、、， ，平面，平面， 平面．同理可得平面， 、是平面内的相交直线 平面平面，由此结合平面，可得直线平面， 即点是线段上上的动点．正确． 对于，平面平面，和平面相交， 与是异面直线，正确． 对于，由知，平面平面， 与不可能平行，错误． 对于，因为，则到平面的距离是定值，三棱锥的体积为定值，所以正确； 故选：． 6．设，是平面内所成角为的两条直线，过，分别作平面，，且锐二面角的大小为，锐二面角的大小为，则平面，所成的锐二面角的平面角的余弦值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 如图，平面为平面ABC,直线为直线AB,直线为直线AC,由题意得， 过作平面为平面ABP, 过作平面为平面ACP,过点P向平面作垂线,垂足为O, 再由点O作连接P