2021_2022学年新教材高中数学第5章三角函数5.25.2.1三角函数的概念学案新人教A版必修第一册.doc

5.2　三角函数的概念 5. 学 习 任 务 核 心 素 养 1．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点) 2．掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点) 3．掌握三角函数诱导公式一并会应用．(重点) 1．通过三角函数的概念，培养数学抽象素养． 2．借助公式的运算，提升数学运算素养. 江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然． 问题：把水车放在坐标系中，点P为水车上一点，它转动的角度为α，水车的半径为r，点P的坐标如何表示？ 知识点1　任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin_α 余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos_α 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α，即eq \f(y,x)＝tan_α(x≠0) 三角 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z 三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？ [提示]　三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin α表示sin与α的乘积．(　　) (2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝eq \f(y,r)，且y越大，sin α的值越大．(　　) [答案]　(1)×　(2)× 2.已知角α的终边与单位圆的交点Peq \f(\r(5),5)，－eq \f(2\r(5),5)，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________. [答案]　－eq \f(2\r(5),5)　eq \f(\r(5),5)　－2 知识点2　正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)已知α是三角形的内角，则必有sin α0.(　　) (2)若sin α0，则α是第一或第二象限角．(　　) [答案]　(1)√　(2)× 4.已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B　[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．] 知识点3　诱导公式一 5.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.(　　) (2)若sin α＝sin β，则α＝β.(　　) [答案]　(1)√　(2)× 6.sin(－315°)的值是(　　) A．－eq \f(\r(2),2)　 B．－eq \f(1,2)　　　 C．eq \f(\r(2),2)　 D．eq \f(1,2) C　[sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).] 类型1　三角函数的定义及应用 【例1】　(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sin αcos β＝(　　) A．－eq \f(36,65) B．－eq \f(3,13) C．eq \f(4,13) D．eq \f(48,65) (2)已知角α的终边落在直线eq \r(3)x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 结合三角函数的定义，思考sin α，cos α，tan α的值是否随点P在终边上的位置的改变而改变？如何利用这一特性解答(2)． (1)B　[由三角函数的定义可知，sin α＝eq \f(5,13)，cos β＝－eq \f(3,5)，所以sin αcos β＝eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq \f(3,13)，故选B.] (2)[解]　∵角α的终边落在直线eq \r(3)x＋y＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P(t，－eq \r(3)t)(t≠0)． 则r＝eq \r(t2＋?－\r(3)t?2)＝2|t|. 当t0时，r＝2t， sin