高压锅的销量的三种数学模型的研究.docx

Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998 高压锅的销量的三种数学模型的研究 辽宁工程技术大学 数学建模课程成绩评定表 学期 09-10学年1学期 姓名 刘思奇梁景龙马宝强 专业 涉外机械 班级 07-2 课程名称 数学建模 论文题目 高压锅的销量 评 定 标 准 评定指标 分值 得分 知识创新性 20 理论正确性 20 内容难易性 15 结合实际性 10 知识掌握程度 15 书写规范性 10 工作量 10 总成绩 100 评语: 任课教师 时间 08年月日 备注 高压锅的销售量 一、摘要 本文通过对从1981到1993年高压锅在某地的销量的研究，分别建立指数增长模型、Logistic组织增长模型、Gompertz模型，通过线性回归，采用最小二乘法与三点微分法来确定参数系数，来研究高压锅销量的增长率的变化，以此来预测未来该地区高压锅的销量的增长率的变化趋势。同时对三种不通模型的所得到的结果进行比较，来验证三种模型应用的范围。 二、问题背景 Logistic增长曲线模型和Gompertz增长曲线模型是计量经济学等学科中的两个常用模型，可以用来拟合销售量的增长趋势。记Logistic增长曲线模型为，记Gompertz增长曲线模型为，这两个模型中L的经济意义都是销售量的上限。表中给出的是某地区高压锅的销售量（单位：万台）。 高压锅的销售量（单位：万台） 年份 t y 年份 t y 1981 0 1988 7 1982 1 1989 8 1983 2 1990 9 1984 3 1991 10 1985 4 1992 11 1986 5 1993 12 1987 6 表1 要求：（1）运用适当的方法，建立高压锅的销售量模型，并作出模型的分析与检验。 Logistic增长曲线模型是一个可线性化模型吗如果是可线性化模型，取L=3000，建立Logistic的线性回归模型。利用线性回归模型所得到的a和k的估计值和L=3000作为Logistic模型的拟合初值，对Logistic模型做非线性回归。 拟合Gompertz模型。 将几个模型作出比较与分析。 三、模型假设 由于表中的数据都是逐年增长的，所以我们很容易想到建立指数增长模型，这其中我们假设高压锅销量的增长率为常数，且销量函数为连续函数。但是考虑到消费人群数量的限制，高压锅的销量不会无限增长，以此我们在第二次讨论中建立Logistic阻滞增长模型，其中我们依然假设销量函数为连续函数。在Gompertz模型中也是假设销量函数为连续函数来言进行研究。 四、模型的建立与求解 1．指数增长模型 表中的数据都是逐年增长的，所以我们很容易想到建立指数增长模型，记今年的高压锅销量为,年后的销量为，年增长率为，则 显然这个公式的基本条件是年增长率保持不变。 模型建立记时刻时的高压锅销量为，由于是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将视为连续可微函数。记时刻的人口为。假设高压锅的销量增长率为常数，即单位时间内的增量等于乘以。考虑到到时间内高压锅的增量，显然有 令，得到满足的微分方程： 由这方程很容易解出 式表示高压锅的销量将按指数规律随时间无限增长，为指数增长模型。 参数估计式的参数可用表1的数据估计。为了利用线性最小二乘法，将取对数，可得 以年的数据拟合式，用MATLAB软件通过表2的程序计算可得 所 即 t=0:11; z=log(y); [p,s]=polyfit(t,z,1); k=p(1), a=p(2)， y0=exp(a) 表2 将全部数据（）拟合式，得 结果分析将上述模型在MATLAB中与实际数据进行拟合后作图得图1、图2（+号是实际数据，曲线是计算结果）。可以看出，用这个模型基本上能够描述1990年以前的高压锅的销量增长，但是从此以后的，高压锅的销量增长明显变慢，这个模型就不再适合了。 图1 图2 模型一般来说，当开始的时候，高压锅的销量基数较小，增长较快，增长率较大；当高压锅的销量基数达到一定的数量后，增长就慢下来，即增长率减小。而且由于消费人群的数量不会有很大变化，高压锅的更新换代有事很慢的一件事，所以这些因素都就阻滞高压锅销量的增长，所以我们就就采用Logistic模型，来改进我们的模型。 模型建立阻滞作用主要体现在对高压锅销量的增长率的影响上，是得随高压锅销量基数的增大而下降。若将表示为销量的函数，则它应是减函数。于是方程写作 对的一个简单的假定是，设为的线性函数，即 ， 这里称为固有增长率，表示高压