2022版高考数学一轮复习 练案（61理+57文）第八章 解析几何 高考大题规范解答系列（五）—解析几何同步练习（含解析）新部编版.docVIP

2022版高考数学一轮复习 练案（61理+57文）第八章 解析几何 高考大题规范解答系列（五）—解析几何同步练习（含解析）新部编版 高考大题规范解答系列(五)——解析几何1．(2018·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b,0)，且|FB|·|AB|＝6.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若＝sin∠AOQ(O为原点)，求k的值．[解析]　(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.由已知可得，|FB|＝a，|AB|＝b，由|FB|·|AB|＝6，可得ab＝6，从而a＝3，b＝2.所以，椭圆的方程为＋＝1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)．由已知有y1>y2>0，故|PQ|sin∠AOQ＝y1－y2.又因为|AQ|＝，而∠OAB＝，故|AQ|＝y2.由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2.由方程组(k>0)消去x，可得y1＝.易知直线AB的方程为x＋y－2＝0，由方程组(k>0)消去x，可得y2＝.由5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝3，两边平方，整理得56k2－50k＋11＝0，解得k＝，或k＝.所以，k的值为或.2．(2021·湖南五市十校教研教改共同体联考)已知椭圆E的标准方程为＋＝1(a>b>0)，且经过点和(0,1)．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过定点(0,2)的直线l与E交于A，B两点，O为坐标原点，若·＝0，求直线l的方程．[解析]　(1)题意得，解得a＝2，b＝1，所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(2)设A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，依题意可设直线l的方程为y＝kx＋2，联立方程组消去y，得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0.Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)>0，k2>，x1＋x2＝，x1x2＝，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)·＋2k·＋4＝＋4＝0，＝0，k2＝4，解得k＝±2，所以所求直线l的方程为y＝2x＋2或y＝－2x＋2，即2x－y＋2＝0或2x＋y－2＝0.3．(2021·广东深圳、汕头、潮州、揭阳联考)已知F1，F2分别是椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点．(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，·＝－，求点P的坐标；(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．[解析]　(1)因为椭圆方程为＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，可得F1(－，0)，F2(，0)，设P(x，y)(x>0，y>0)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝－，联立解得?即P.(2)显然x＝0不满足题意，可设l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立?(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，由Δ＝(16k)2－4(1＋4k2)·12>0，得k2>，x1＋x2＝－，x1x2＝.又∠AOB为锐角，即·>0，即x1x2＋y1y2>0，x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)>0，(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)＋2k＋4＝>0，可得k2<4.又k2>，即为<k2<4，解得k∈∪.4．(2021·吉林长春质检)已知椭圆x2＋＝1，直线l：y＝kx＋1分别与x轴y轴交于M，N两点，与椭圆交于A，B两点．(1)若＝，求直线l的方程；(2)若点P的坐标为(0，－2)，求△PAB面积的最大值．[解析]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线方程与椭圆方程有，有(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，有＝－，＝，所以AB中点坐标为，(k≠0)由M，N(0,1)，MN中点坐标为，因为＝，所以线段MN的中点与AB的中点重合，有，解得k＝±2.∴直线l的方程为y＝±2x＋1.(2)由(1)可知S△PAB＝×3×|x1－x2|＝＝＝6×＝，因为≥，所以＋≥，所以SΔPAB＝≤，当k＝0时，△PAB面积最大．5．(2021·江苏镇江联考)已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1,2)为抛物线C上一点．(1)求抛物线C的方程；(2)若点B(1，－2)在抛物线C上，过B作C的两弦BP与B