知识讲解_不等式全章复习与巩固_基础.docx

《不等式》全章复习与巩固 编稿：李霞 审稿：张林娟 【学习目标】 1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质； 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力； 3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式； 4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一 些简单的二元线性规划问题，并能加以解决； 5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件 . 【知识网络】 不等式 不等关系与 不等式  一元二次不等 式及其解法  二元一次不等式 （组）与平面区域  基本不等式 简单的线性规划 最大（小）值问题 【要点梳理】 要点一：不等式的主要性质 (1) 对称性： a b b a (2) 传递性： a b, b c a c (3) 加法法则： a b a c b c ； a b, c d a c b d (4) 乘法法则： a b, c 0 ac bc ； a b, c 0 ac bc ， a b 0,c d 0 ac bd (5) 乘方法则： a b 0 an bn (n N * 且n 1) (6) 开方法则： a b 0 n a n b (n N * 且n 1) 要点诠释： 不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同 . 要点二：三个“二次”的关系 一元二次不等式 ax 2 bx c 0或 ax2 bx c 0 (a 0) 的解集： 设相应的一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0) 的两根为 x1、x2 且 x1 x2 ， b2 4ac ，则不等 式的解的各种情况如下表： 0 0 0 二次函数 y ax2 bx c a 0 ）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax 2 bx c 0 x2 ) b 无实根 a 0 的根 x1 , x2 (x1 x1 x2 2a ax 2 bx c 0 b (a 0)的解集 x x x1或 x x2 x x R 2a ax 2 bx c 0 x2 (a 0)的解集 x x1 x 解一元二次不等式的步骤 （ 1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数： A ax 2 bx c (a 0) （ 2）计算判别式 ，分析不等式的解的情况： ① 0 时，求根 x1 , x2 （注意灵活运用因式分解和配方法） ； ② 0 时，求根 x1 x2 b ； 2a ③0时，方程无解 3）写出解集 . 要点诠释： 若 a 0 ，可以转化为 要点三：线性规划  a  0 的情形解决  . 用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式 Ax+By+C ＞ 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域 .（虚线表示区域不包括边界直线） 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点 ( x, y )，把它的坐标（ x, y )代入 Ax+By+C ，所得到实数的 符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（ x0,y0) ，从 Ax 0+By 0+C 的正负即可判断 Ax+By+C ＞ 0 表示直线哪一侧的平面区域 .（特殊地，当 C≠0时，常把 原点 作为此特殊点） 线性规划的有关概念： ① 线性约束条件 ： 如果两个变量 x 、 y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量 x 、 y 的约束条件，这组约束条件 都是关于 x 、 y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ② 线性目标函数 ： 关于 x、y 的一次式 z=ax+by(a ，b∈ R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，叫线性目标函数． ③ 线性规划问题 ： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④ 可行解、可行域和最优解 ： 在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（ x,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 要点诠释： 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； 2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； 3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解 )； 4)作答． 要点四：基本不等式 两个重要不等式 ① a,b R ，那么 2 2 a a b 2ab （当且仅当 = b 时取等号 “ ）” ②基本不等式：如果 a, b是正数，那么 a b ab （当且仅当 a = . 2 b 时取等号