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矩形菱形与正方形
一、选择题
1.( 2016·黑龙江大庆)下列说法正确的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.矩形的对角线互相垂直
C.一组对边平行的四边形是平行四边形
D.四边相等的四边形是菱形
【考点】矩形的性质;平行四边形的判定;菱形的判定.
【分析】直接利用菱形的判定定理、 矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案.
【解答】解: A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;故本选项错误;
B、矩形的对角线相等,菱形的对角线互相垂直;故本选项错误;
C、两组组对边分别平行的四边形是平行四边形;故本选项错误;
D、四边相等的四边形是菱形;故本选项正确.
故选 D.
【点评】 此题考查了矩形的性质、 菱形的判定以及平行四边形的判定. 注意掌握各特殊平行
四边形对角线的性质是解此题的关键.
( 2016·湖北鄂州)如图,菱形ABCD的边 AB=8,∠ B=60°, P 是 AB 上一点, BP=3, Q
是 CD边上一动点,将梯形 APQD沿直线 PQ折叠, A 的对应点为 A′,当 CA′的长度最小时,
CQ的长为( )
A.5 B.7 C.8 D.
13
2
【考点】菱形的性质,梯形,轴对称(折叠),等边三角形的判定和性质,最值问题.
【分析】如下图所示,由题意可知,△ ABC为等边三角形;过 C 作 CH⊥ AB,则 AH=HB;连接
DH;要使 CA′的长度最小,则梯形 APQD沿直线 PQ折叠后 A 的对应点 A′应落在 CH上,且
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对称轴 PQ应满足 PQ∥ DH;因为 BP=3,易知 HP=DQ=1,所以 CQ=7.
【解答】解:如图,过 C 作 CH⊥ AB,连接 DH;
ABCD是菱形,∠ B=60°
∴△ ABC为等边三角形;
∴ AH=HB=8 =4;
2
BP=3, ∴ HP=1
要使 CA′的长度最小,则梯形 APQD沿直线 PQ折叠后 A 的对应点 A′应落在 CH上,
且对称轴 PQ应满足 PQ∥ DH;
由作图知, DHPQ为平行四边形
∴ DQ=HP= 1,
CQ=CD-DQ=8-1=7.
故正确的答案为: B.
【点评】本题综合考查了菱形的性质,梯形,轴对称(折叠),等边三角形的判定和性质,
最值问题. 本题作为选择题,不必直接去计算,通过作图得出答案是比较便捷的方法。 弄清
在什么情况下 CA′的长度最小(相当于平移对称轴)是解决本题的关键 .
3. ( 2016·湖北咸宁) 已知菱形 OABC在平面直角坐标系的位置如图所示, 顶点 A( 5,0),
OB=4 5 ,点 P 是对角线 OB上的一个动点, D( 0,1),当 CP+DP最短时, 点 P 的坐标为( )
A. (0,0) B. (1,12) C. (65,35) D. (107,57)
【考点】菱形的性质,平面直角坐标系, ,轴对称——最短路线问题,三角形相似,勾股定
理,动点问题.
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【分析】点 C关于 OB的对称点是点 A,连接 AD,交 OB于点 P, P 即为所求的使 CP+DP最短
的点;连接 CP,解答即可 .
【解答】解:如图,连接 AD,交 OB于点 P,P 即为所求的使 CP+DP最短的点;连接 CP,AC,AC交 OB于点 E,过 E 作 EF⊥OA,垂足为 F.
∵点 C 关于 OB的对称点是点 A,
CP=AP,
∴AD即为 CP+DP最短;
∵四边形 OABC是菱形, OB=4 5 ,
∴OE=12 OB=2 5 , AC⊥OB
又∵ A( 5,0),
2
2
2
2
∴在 Rt △ AEO中, AE=
OA
OE =
5 (2 5)=5;
易知 Rt △ OEF∽△ OAE
∴ OAOE = AEEF
∴EF=
OE AE
=
2
5
5
=2
,
OA
5
2
2
2
2
∴OF=
OE
EF=(2
5) 2 =4.
∴E 点坐标为 E( 4,2)
设直线 OE的解析式为: y=kx ,将 E( 4, 2)代入,得 y= 12 x,
设直线 AD的解析式为: y=kx+b ,将 A(5, 0),D( 0, 1)代入,得 y=- 15 x+1,
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∴点 P 的坐标的方程组
y= 1 x,
2
y=- 51 x+1,
解得 x=
10 ,
7
y=
5
7
∴点 P 的坐标为( 10
, 5
)
7
7
故选 D.
【点评】本题考查了菱形的性质,平面直角坐标系,
,轴对称——最短路线问题,三角形相
似,勾
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