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圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题
【高考要求】
1.熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质,并灵活运用它们解决相关的问题。
2.掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略;
3.灵活运用教学中的一些重要的思想方法(如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨
论思想、等价转化的思想学)解决问题。
【热点透析】
与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决:
1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系;
2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的离心率
a,b,c)适合的不等式(组) ,通过解不等式组得出离心率的变化范围;
3)函数值域求解法:把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。
4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的
构思;
5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同特点是均含有三角式。因此,它们的应用价值在于:
① 通过参数 θ简明地表示曲线上点的坐标;
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题;
(6)构造一个二次方程,利用判别式 0。
2.解题时所使用的数学思想方法。
1)数形结合的思想方法。一是要注意画图,草图虽不要求精确,但必须正确,特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置;二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出
来,反之应由代数量确定几何特征,三要注意用几何方法直观解题。
2)转化的思想方汉。 如方程与图形间的转化、 求曲线交点问题与解方程组之间的转化,实际问题向数学问题的转化,动点与不动点间的转化。
3)函数与方程的思想,如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。
4)分类讨论的思想方法,如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨
论等。
【题型分析】
1. 已知双曲线 C1
: x2
y2
1(a
0,b 0)
的左、右焦点分别为 F1 、 F2
,抛物线 C2 的顶点在原点,
a2
b2
准线与双曲线 C1 的左准线重合,若双曲线
C1 与抛物线 C2 的交点 P 满足 PF2
F1F2 ,则双曲线 C1 的离
心率为(
)
A. 2
B.
3
C.
2
3
D.2 2
3
解:由已知可得抛物线的准线为直线
x
a2
,∴ 方程为 y2
4a2
x ;
c
c
由双曲线可知
P(c, b2
) ,∴ (b2
)2
4a2
c ,∴ b2
2a2
b2
2 ,∴ e2
1
2 , e
3 .
a
a
c
a2
x2
y2
1 ( a
b
0 )的两个焦点分别为
F 、 F2 ,以 F1 、 F2 为边作正三角形,若椭圆恰
2.椭圆
2
b2
a
好平分三角形的另两边,则椭圆的离心率
e为
( B )
3
1
B.
3 1
C.4( 2
3 )
D.
3
2
A.
4
2
解析:设点 P 为椭圆上且平分正三角形一边的点,如图,
y
由平面几何知识可得
| PF2 |:| PF1 |:| F1F2 |
1: 3:2
,
P
所以由椭圆的定义及
e
c
得:
a
F1
F2
x
O
e
2c
| F1F2 |
2
3
1 ,故选 B.
2a | PF1 | | PF2 |
3 1
变式提醒 :如果将椭圆改为双曲线,其它条件不变,不难得出离心率
e
3 1 .
3.
( 09 浙江理)过双曲线
x2
y 2
1(a
0,b
0) 的右顶点 A 作斜率为
1的直线,该直线与双曲线
a2
b2
的两条渐近线的交点分别为
B,C .若 AB
1 BC ,则双曲线的离心率是
(
)
2
A. 2
B. 3
C. 5
D. 10
【 解 析 】 对 于 A a,0
, 则 直 线 方 程 为 x
y
a
0,直线与两渐近线的交点为 B,C,
B
a2
,
ab
a2
ab
2a2b
2a2b
ab
ab
, C(
,
),BC (
2
2 ,
2
b
2),AB
,
,
a b a b
a b a b
a b
a
a b a b
因此 2AB
BC,
4a2
b2 ,
e
5
.答案: C
4.
( 09 江西理)过椭圆
x2
y
2
1
( a
b
0 ) 的左焦点
F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点
P , F2 为右焦点,
a2
b2
若
F1PF2
60
2
3
1
1
,则椭圆的离心率为 (
) A.
2
B.
C.
2
D.
3
3
【解析】因为
P( c,
b2
) ,再由
F1PF2
60
有
3b2
2a, 从而可得 e
c
3
,故选 B
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