第3炼利用数轴解决集合运算问题.docx

第 3 炼 利用数轴解决集合运算问题 数形结合是解决高中数学问题的常用手段， 其优点在于通过图形能够直观的观察到某些 结果， 与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中， 涉及到单 变量的取值范围， 数轴就是一个非常好用的工具， 本文将以一些题目为例， 来介绍如何使用 数轴快速的进行集合的交并运算。 一、基础知识： 1、集合运算在数轴中的体现： B : 在数轴上表示为 A, B 表示区域的公共部分 B : 在数轴上表示为 A, B 表示区域的总和 CU A : 在数轴上表示为 U 中除去 A 剩下的部分（要注意边界值能否取到） 2、问题处理时的方法与技巧： 1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系 2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。 3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域 4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可 3、作图时要注意的问题： 1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察 2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。二、例题精析： 例 1：（ 2009 安徽）集合 A x 2x 1 3,B x 2x 1 0 ， 3 x 则 A B =_______ 思路：先解出 A, B 的解集， A 1,2 , B 1 3, ， , 2 作出数轴，则 A B 即为它们的公共部分。 A B 1 1, 2 答案：A B 1, 1 2 例 ：设集合 S x x 2 3 ,T x | a x a 8,S T R，则 a 的取值范围是 ____ 2 思路：可解出 S , 1 5, ，而 T 集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的 集合做起，即画出 S 的范围，由于 S T R ，而数轴上有一部分区域没有被 S 包含，那说 明 T 集合负责补 S 空缺的部分，由于参数决定其端点位置，所以画出图像，有图像观察可 a 1 即可，解得： 3 a 1 得只需要： 8 5 a 答案： 3 a 1 小炼有话说： （ 1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的 作用，在本题中参数决定 T 区间的端点 （2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合 （ 3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若 a 3 或 a 1，则 端点处既不在 S 里，也不在 T 里，不符题意。 例 3：对于任意的 x R ，满足 a 2 x2 2 a 2 x 4 0 恒成立的所有实数 a 构成集合 A ， 使 不 等 式 x 4 x 3 a 的 解 集 是 空 集 的 所 有 实 数 a 构 成 集 合 B ， 则 A CR B ______ 思路：先利用已知条件求出 A, B ，再利用数轴画出 A CR B 的范围即可 解：由 a 2 x2 2 a 2 x 4 0 ① 恒成立，可得： 当 a 2 0 即 a 2时，①变为： 4 0 恒成立 当 a 2时，若要①恒成立，则 a 2 0 2 a 2 4 a 2 16 a 2 0 2 A 2,2 x 4 x 3 a 解集为空等价于： x R, x 4 x 3 a a x 4 x 3 min 2x 7, x 4 设 f x x 4 x 3 1, 3 x 4 7 2x, x 3 f x min 1 a 1即 B ,1 CRB 1, A CRB 1,2 小炼有话说：本题更多考察的地方在于 A, B 集合的求解。 A 集合要注意 a 2 0 的情况， 而不能默认为二次不等式， B 集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行 交并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端点值的开闭。 例 4：已知集合 1 1 3 , 2 (2 1) 2 0 ，若 A x x x B x x mx m m A B，则实数 m 的取值范围为 思路： 先解出 A, B 的解集， A B 意味着 A, B 有公共部分， 利用数轴可标注集合 B 两 端点的位置，进而求出 m 的范围 解： x 1 x 1 3 当 x 1时， x 1 x 1 3 x 3 3 2 1 x 2 当 1 x 1时， 1 x x 1 3 2 3恒成立 当 x 1时， 1 x x 1 3