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常用实验数据处理方法简介 中国人民大学环境学院 张晓军 一、数据处理方法综述 实验数据处理的本质:给定一组相互独立的自变量x1,x2,x3….(xi均为n维向量)和因变量y(n维向量),找出一个“最佳”的映射,来刻画自变量和因变量之间的关系。 关于“最佳”的两种理解:逼近和插值。 一、数据处理方法综述 实验数据处理方法的分类: 按照自变量的个数,可分为一元和多元两大类; 按照映射(函数)形式,可分为线性和非线性两大类。 于是一共有2*2 = 4大类。 二、线性方法 考虑到线性方法已经规定了函数形式为线性,故在线性方法中,“最佳”的判据只能是逼近。 按照自变量个数,分为一元线性回归和多元线性回归。 二、线性方法 多元线性回归模型: 二、线性方法 代入(2)中可得 二、线性方法 二、线性方法 二、线性方法 二、线性方法 由上式对 求导(向量函数的求导),可得: 二、线性方法 二、线性方法 显著性检验与拟合性检验。 主要是检验模型是否一定与解释变量有密切的关系。 在模型的检验显著的情况下,需要进一步地做拟合性检验,目的是检验是否一定为(2)所给的形式,即是否还存在其他的影响因素没有考虑到。 三、非线性方法 理论上来说,对于需要处理的数据,如果已知所需拟合的函数的形式,那么通常都可以通过变量替换化成线性方式求解。 那么,为什么要提出非线性方法呢? 三、非线性方法 对于非线性方法,与线性方法类似,同样可以按照自变量的个数分为一元非线性回归(曲线拟合)和多元非线性回归(曲面拟合)。 (一)曲线拟合 对于曲线拟合,其“最佳”的理解可以有插值和逼近两种方式。 若按照插值来理解,那么就是《数值计算》中的插值法。 若按照逼近来理解,那么就是《非线性规划》中的一种特殊的无约束最优化问题——非线性最小二乘法。 插值法 Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值公式); 牛顿(Newton)插值及余项、差商的定义与性质; 埃尔米特(Hermite)插值公式及余项; 等距节点的多项式插值、分段低次多项式插值、三次样条插值。 插值法 插值唯一性定理 证明:利用范德蒙行列式 插值法 一、解方程组法: 二、基函数法:一种既能避免解方程组,又能适合于计算机求解的方法,下面将具体介绍。 拉格朗日插值公式 拉格朗日(Lagrange)插值公式的基本思想是,把pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)的构造。 线性插值函数 抛物插值函数 N次插值函数 一次Lagrange插值多项式 由直线两点式可知,通过A,B的直线方程为 它也可变形为 显然有 一次Lagrange插值多项式 记 可以看出: 称 为节点 , 的线性插值基函数。 一次Lagrange插值多项式 线性插值基函数的特点: 节点值; 均为一次函数。 注意她们的特点对下面的推广很重要。 二次Lagrange插值多项式 由基函数方法得: 其中: N次Lagrange插值多项式 我们看到,两个插值点可求出一次插值多项式,而三个插值点可求出二次插值多项式。从而,当插值点增加到n+1个时,我们可以利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式。 N次Lagrange插值多项式 构造各个插值节点上的基函数 满足如下条件: N次Lagrange插值多项式 因此令: 又由 ,得: N次Lagrange插值多项式 从而得n 阶拉格朗日(Lagrange)插值公式: Newton插值 Lagrange插值虽然易算,但若要增加一个节点时,全部基函数都需要重新计算。 Newton插值的承袭性 增加一个节点后: Hermite插值 在实际问题中,对所构造的插值多项式,不仅要求函数值重合,而且要求若干阶导数也重合。 把此类插值多项式称为埃米尔特(Hermite)插值多项式或称带导数的插值多项式,记为H (x)。 分段插值 高次插值的龙格现象 分段插值。所谓分段插值,就是将被插值函数逐段多项式化。 非线性最小二乘法 从本质上看,非线性最小二乘法就是一种特殊的无约束最优化问题,因此,所有《非线性规划》中关于无约束最优化问题的算法,理论上都可以直接应用到非线性最小二乘法问题中。 最速下降法,牛顿法,修正牛顿法,共轭梯度法,变度量法,Powell方法等一系列算法都可以用来解非线性最小二乘问题。 非线性最小二乘法 但是,由于非线性最小二乘问题的特殊性,可以有一些更加行之有效的方法来解。 包括Gauss—Newton法,Levenberg—Marquartdt法等。 仅介绍Gauss—N
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