第二章简单体系定态薛定谔方程的解.ppt

设有一个方盒，它的三个边的长度分别为a、b、c。若其中有一个质量为m的粒子，它在盒内的势能是0，在盒外是无穷大。 在盒外 ， 。 在盒内 令 ;令;将 代入(2.1.8)式可得 ，所以 由 因为 将(2.1.11)式代入(2.1.9)式得 ; 对方程(2.1.6)和(2.1.7)求解，可以得到类似的结果。把三个结果合在一起，可得 ;结果讨论： (1) 若 ， ，则 这说明盒子的体积越大， 越小。对于自由粒子来说，V趋于无穷大，能量就变成连续的了。 由(2.1.16)式可以看出，E可以是简并的。如当 、 、 分别取1，2，3时，可以有六种取法，都对应同一能量。 (2) 一维方盒(也称一维势阱) ; 粒子在区间 中不同位置上出现的几率是不同的。有些点上 ，这样的点称为节点。 在直链多烯烃的分子中，2K个碳原子共有2K个 电子形成大 键。设链长为a，则对于这个体系，电子运动最简单的模型就是假定电子在整个链上运动，近似地认为原子核和其它电子所产生的总位能是固定的。设d为两个碳原子的核间距，则a=(2K+1)d（假定电子运动的范围超出端点碳原子d这么远距离），由于V=常数，令En’=En-V，根据上述讨论结果可得 以丁二烯为例 ; 1. 勒让德（Legendre）函数 称为勒让德方程，这里 ( 为极角)， 是x的函数，也就是 的函数，因 ，所以 。 因为要求 表示一定的物理状态，它在x的变化范围内必须是单值、连续和有限的。 现在用级数法求解上述微分方程，设 ;在第一项求和中用k+2代替k，得 这是一个恒等式，无论x取何值都要成立，因此 此式称为递推关系式。只要确定了 和 ，所有的系数都可以求出，从而 也就知道了。 ;如给定 ，则 如给定 ，则 这样原则上可以写出 的所有项，我们把它表示为 ; 对于二阶常微分方程，一般解会有两个任意常数 和 ，它们可由起始条件给出 上面没有讨论级数在什么范围收敛的问题。可以证明： 收敛； 发散。现在我们要求在 的范围内 都是有限值，这样 就不能取任意值，而必须取 。 当 时，递推关系式为 当 时， ，从而 。因此当l为偶数时： 到 时为止，它不是一个无穷级数，而是一个多项式。 仍是一个无穷级数，但我们可以令 ，这样 就是 ;一个 次多项式，称为勒让德多项式，或勒让德函数，用 表示。 时， 。 时 ，以后系数均为0，所以 时，由同样的计算可得 依次类推。因为 不同时， 、 和 可以不同，因此需要标明。为了确定它们的数值，通常选取 使 ，如令 ，则; 当 为奇数时： 同理，可以求出 时 确定的 。同样，选取 使 。这样就可以得到勒让德函数 ;2. 关联勒让德函数 被称为关联勒让德方程。方程的解可以由勒让德函数来定义 称为关联勒让德函数（这时要求 ）。 证明 令 ;将 和 及 代入关联勒让德方程得 ;其中 从v(3)开始所有项为0。同理，第二项为 于是(2.2.1’)式对x微商m次的结果为 与(2.2.12)式比较，可知 ;将上式代入(2.2.11)式，得