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(五) 反比例函数与一次函数、几何综合
|类型1| 反比例函数与一次函数结合
1.[2019·西藏] 已知点A是直线y=2x与双曲线y=m+1x(m为常数)一支的交点,过点A作x轴的垂线,垂足为B,且OB=2,则m的值为 (
A.-7 B.-8 C.8 D.7
2.[2019·沈阳] 如图T5-1,正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=k2x(x0)的图象相交于点A(3,23),点B是反比例函数图象上一点,它的横坐标是3,连接OB,AB,则△AOB的面积是
图T5-1
3.[2019·内江] 如图T5-2,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于第二、四象限内的点A(a,4)和点B(8,b).过点A作x轴的垂线,垂足为点C,△AOC的面积为4
(1)分别求出a和b的值;
(2)结合图象直接写出mx+nkx
(3)在x轴上取点P,当PA-PB取得最大值时,求出点P的坐标.
图T5-2
|类型2| 反比例函数与几何图形结合
4.[2018·无锡滨湖区一模]如图T5-3,在平面直角坐标系中,菱形ABOC的顶点O在坐标原点,边BO在x轴的负半轴上,∠BOC=60°,顶点C的坐标为(m,33),反比例函数y=kx的图象与菱形对角线AO交于D点,连接BD,当BD⊥x轴时,k的值是 (
图T5-3
A.63 B.-63 C.123 D.-123
5.[2018·徐州一模]如图T5-4,在平面直角坐标系中,OA=AB,∠OAB=90°,反比例函数y=kx(x0)的图象经过A,B两点.若点A的坐标为(n,1),则k的值为
图T5-4
6.[2019·深圳模拟] 如图T5-5,四边形OABC是平行四边形,对角线OB在y轴上,位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=k1x和y=k2x的一支上,分别过点A,C作x轴的垂线,垂足分别为M和N,则有以下的结论:①ON=OM;②△OMA≌△ONC;③阴影部分面积是12(k1+k2);④若四边形OABC是菱形,则图中曲线关于y轴对称.
图T5-5
A.①②④ B.②③ C.①③④ D.①④
7.[2018·辽阳] 如图T5-6,菱形ABCD的顶点A在y轴正半轴上,边BC在x轴上,且BC=5,sin∠ABC=45,反比例函数y=kx(x0)的图象分别与AD,CD交于点M,N,点N的坐标是(3,n),连接OM
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求证:△OMC是等腰三角形.
图T5-6
|类型3| 反比例函数与一次函数的应用和创新
8.[2018·徐州一模]某化工车间发生有害气体泄漏,自泄漏开始到完全控制用了40 min,之后将对泄漏的有害气体进行清理,线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x(min)之间的函数关系(0≤x≤40),反比例函数y=kx对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间内危险检测表显示数据y与时间x(min)之间的函数关系(40≤x≤?).
(1)危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是 ;?
(2)求反比例函数y=kx的表达式,并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值
图T5-7
9.[2019·绵阳]如图T5-8,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=m2-3mx(m≠0且m≠3)的图象在第一象限交于点A,B,且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为E,D.已知
(1)求m的值和反比例函数的解析式;
(2)若点M为一次函数图象上的动点,求OM长度的最小值.
图T5-8
【参考答案】
1.D [解析]根据题意,可知点A的横坐标是2或-2,由点A在正比例函数y=2x的图象上,
∴点A的坐标为(2,4)或(-2,-4),
又∵点A在反比例函数y=m+1x(
∴m+1=8,即m=7.故选D.
2.23 [解析]∵正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=k2x(x0)的图象相交于点A(3,2
∴23=3k1,23=k2
∴k1=2,k2=6,
∴正比例函数为y=2x,反比例函数为:y=6x
∵点B是反比例函数图象上一点,它的横坐标是3,
∴y=63=2,∴B
作BD∥x轴交OA于D,
∴D(1,2),
∴BD=3-1=2.
∴S△AOB=S△ABD+S△OBD=12×2×(23-2)+12×2×2=2
故答案为23.
3.解:(1)∵点A(a,4),
∴AC=4.
∵S△AOC=4,∴12OC·AC=
∴OC=2.
∵点A(a,4)在第二象限,
∴a=-2,A
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