新人教A版选修4-4第1讲坐标系本讲小结(含答案解析).pdfVIP

高中数学 第一讲 坐标系本讲小结 新人教 A 版选修 4-4 一、基本内容简介 1．极坐标的有关概念；平面上点的直角坐标 ( x ，y ) 和极坐标 ( ρ， θ) 的意义以及二者 间的相互关系． 2．空间中点的直角坐标 ( ， ， ) 和柱坐标 ( ， ， ) 、球面坐标 ( ， ， ) 的意义， x y z ρ θ z r φ θ 以及它们之间的相互关系． 3．平面上曲线的极坐标方程的概念及求法． 4 ．过极点以及与极轴垂直的直线的极坐标方程的形式． 5．过极点且圆心在极轴上的圆的极坐标方程的形式，它与该圆的直角坐标方程的互 π 化．类似讨论过极点且圆心在射线 θ＝± 上的圆的极坐标方程． 2 二、求曲线极坐标方程 1．求极坐标方程的方法．求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的方法 类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹． 将已知条件用曲线上的点的极坐标 ρ、 θ的关系式 f ( ρ， θ) ＝0 表示出来，就得到曲线的极坐标方程．具体步骤如下： P ρ θ (1) 建立适当的极坐标系，设 ( ， ) 是曲线上任意一点． (2) 由曲线上的点所适合的条件， 列出曲线上任意一点的极径 ρ和极角 θ之间的关系式． (3) 将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． (4) 证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解 变形，证明可以省略． 2．求平面曲线的极坐标方程， 就是要找极径 ρ 和极角 θ之间的关系， 常用解三角形 ( 正 弦定理、余弦定理 ) 的知识，利用三角形的面积相等来建立 ρ、 θ之间的关系． 三、柱坐标与球坐标 1．柱坐标． M x y z M Oxy M0 M0 设空间中一点 的直角坐标为 ( ， ， ) ，点 在 坐标面上的投影点为 ，点 在 Oxy 平面上的极坐标为 ( ρ， θ) ，如图甲所示，则三个有序数 ρ， θ，z 构成的数组 ( ρ， θ，z) 称为空间中点 M的柱坐标．在柱坐标中，限定 ρ≥0，0≤ θ2 π，z 为任意实数．由 此可见， 柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标． 因此， 由平面上极坐 x ＝ ρcos θ， ＝ sin ， 标和直角坐标的变换公式容易得到空间直角坐标与柱坐标的变换公式 y ρ θ z ＝z . 在极坐标中，方程 ＝ 0( 0 为不等于 0 的常数 ) 表示圆心在极点，半径为 0 的圆， ρ ρ ρ ρ 方程 θ＝ θ0 ( θ0 为