数学建模-淋雨模型.pdf

^` 淋雨量模型 摘要 步入雨季，降雨天气逐渐开始在人们的日常生活中频繁出现起来，与此同 时，突如其来的雨水也常常带给无准备的人们淋成落汤鸡的窘境。面对骤雨， 大多数人在通常情况下会选择快速奔跑以希求淋雨最少。然而这样真的能淋雨 最少吗？以此日常情景为背景提出了四个问题，本文运用几何知识、物理知识 等方法成功解决了这四个问题，得到了在不同的降雨条件下人体在雨中奔跑时 淋雨多少与奔跑速度、降雨方向等因素的关系。并针对不同降雨条件给出了淋 雨量最少的方法。 针对问题一，条件给出：不考虑雨的方向，降雨淋遍全身；确定淋雨量为 人体表面积与单位面积降雨量及淋雨时间之积 针对问题二，根据已知条件（雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面 内，且与人体的夹角为θ） ，对雨线的速度分别沿水平、竖直方向正交分解，并 综合考虑人的速度与雨线速度的制约关系，建立模型，得出函数模型。并对函 数求导分析最小淋雨量对应速度。 针对问题三，在雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人 体的夹角为α的条件下，对雨线的速度分别沿水平、竖直方向正交分解，并综 合考虑人的速度与雨线速度的制约关系，建立模型，得出函数模型。并对函数 分析最小淋雨量对应速度。以总淋雨量为纵轴，速度 v 为横轴，对函数用 Excel 作图（考虑α的影响） ，并解释结果的实际意义。 针对问题四，综合考虑前三种情况的共同作用，并基于前三种模型进行修 正。 最后，对所建立的模型和求解方法的方法的优缺点给出了客观的评价，并 指出误差所在。 关键字： 淋雨量雨速大小 雨速方向 跑步速度 路程远近 一、 问题重述 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数 学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。 将人体简化成一个长方体，高 a=1.5m （颈部以下），宽 b=0.5m ，厚 c=0.2m ， 设跑步的距离 d=1000m ，跑步的最大速度 v m=5m/s ，雨速 u=4m/s ，降雨量ω =2cm/h ，及跑步速度为 v ，按以下步骤进行讨论 ] ： （1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全 程的总淋雨量 ; （2 ）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为 θ，如图 1.建立总淋雨量与速度 v 及参数 a，b ，c，d ，u ，ω，θ之间的关系， 问速度 v 多大，总淋雨里最少。计算θ =0 ，θ =30 °的总淋雨量 . （3 ）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角 为α，如图 2.建立总淋雨量与速度 v及参数 a，b，c，d，u，ω，α之间的关系， ^` 问速度 v 多大，总淋雨量最小。计算α =30 °的总淋雨量 . （4 ）、以总淋雨量为纵轴，速度 v 为横轴，对（ 3 ）作图（考虑α的影响） ， 并解释结果的实际意义 . （5 ）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？ 二、 问题分析 淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位 面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。 可得： 淋雨量（ V ）=降雨量（ω