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第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
[基础题组练]
1.已知命题p:若x≥a2+b2,则x≥2ab,则下列说法正确的是 ( )
A.命题p的逆命题是“若x<a2+b2,则x<2ab”
B.命题p的逆命题是“若x<2ab,则x<a2+b2”
C.命题p的否命题是“若x<a2+b2,则x<2ab”
D.命题p的否命题是“若x≥a2+b2,则x<2ab”
解析:选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab,则x≥a2+b2”,故A,B都错误;命题p的否命题是“若x<a2+b2,则x<2ab”,故C正确,D错误.
2.“若x,y∈R,x2+y2=0,则x,y全为0”的逆否命题是( )
A.若x,y∈R,x,y全不为0,则x2+y2≠0
B.若x,y∈R,x,y不全为0,则x2+y2=0
C.若x,y∈R,x,y不全为0,则x2+y2≠0
D.若x,y∈R,x,y全为0,则x2+y2≠0
解析:选C.依题意得,原命题的题设为若x2+y2=0,结论为x,y全为零.逆否命题:若x,y不全为零,则x2+y2≠0,故选C.
3.有下列几个命题:
①“若a>b,则eq \f(1,a)>eq \f(1,b)”的否命题;
②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.
其中真命题的序号是( )
A.① B.①②
C.②③ D.①②③
解析:选C.①原命题的否命题为“若a≤b,则eq \f(1,a)≤eq \f(1,b)”,假命题;②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,真命题;③原命题为真命题,故逆否命题为真命题.所以真命题的序号是②③.
4.设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A?B”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选C.由A∩B=A可得A?B,由A?B可得A∩B=A.所以“A∩B=A”是“A?B”的充要条件.故选C.
5.“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选A.因为cos 2α=cos2α-sin2α=0,所以sin α=±cos α,所以“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.故选A.
6.(2019·郑州模拟)设平面向量a,b,c均为非零向量,则“a·(b-c)=0”是“b=c”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选B.由b=c,得b-c=0,得a·(b-c)=0;反之不成立.故“a·(b-c)=0”是“b=c”的必要不充分条件.
7.(2019·西安八校联考)在△ABC中,“eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))>0”是“△ABC是钝角三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选A.法一:设eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(BC,\s\up6(→))的夹角为θ,因为eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))>0,即|eq \o(AB,\s\up6(→))|·|eq \o(BC,\s\up6(→))|cos θ>0,所以cos θ>0,θ<90°,又θ为△ABC内角B的补角,所以∠B>90°,△ABC是钝角三角形;当△ABC为钝角三角形时,∠B不一定是钝角.所以“eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件,故选A.
法二:由eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))>0,得eq \o(BA,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))<0,即cos B<0,所以∠B>90°,△ABC是钝角三角形;当△ABC为钝角三角形时,∠B不一定是钝角.所以“eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件,故选A.
8.如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选C.法一:设集合A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|cos x≠cos y},则A的补集C={(x,y)|x=y},B的补集D={(x,
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