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第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
[基础题组练]
1.(2019·唐山五校联考)设变量x,y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+y≥1,,x-y≥0,,2x-y-2≤0,))则目标函数z=2x+y的最小值为( )
A.eq \f(3,2) B.2
C.4 D.6
解析:选A.作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,作出直线2x+y=0,平移该直线,易知当直线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2)))时,zmin=2×eq \f(1,2)+eq \f(1,2)=eq \f(3,2),故选A.
2.(2019·广州市调研测试)已知点A(2,1),O是坐标原点,P(x,y)的坐标满足:eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x-y≤0,x-2y+3≥0,y≥0)),设z=eq \o(OP,\s\up6(→))·eq \o(OA,\s\up6(→)),则z的最大值是( )
A.-6 B.1 C.2 D.4
解析:选D.法一:由题意,作出可行域,如图中阴影部分所示.z=eq \o(OP,\s\up6(→))·eq \o(OA,\s\up6(→))=2x+y,作出直线2x+y=0并平移,可知当直线过点C时,z取得最大值,由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x-y=0,x-2y+3=0)),得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=1,y=2)),即C(1,2),则z的最大值是4,故选D.
法二:由题意,作出可行域,如图中阴影部分所示,可知可行域是三角形封闭区域.z=eq \o(OP,\s\up6(→))·eq \o(OA,\s\up6(→))=2x+y,易知目标函数z=2x+y的最大值在顶点处取得,求出三个顶点的坐标分别为(0,0),(1,2),(-3,0),分别将(0,0),(1,2),(-3,0)代入z=2x+y,对应z的值为0,4,-6,故z的最大值是4,故选D.
3.不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0,,x+y≤3,,y≥x+1))表示的平面区域为Ω,直线y=kx-1与区域Ω有公共点,则实数k的取值范围为( )
A.(0,3] B.[-1,1]
C.(-∞,3] D.[3,+∞)
解析:选D.直线y=kx-1过定点M(0,-1),
由图可知,当直线y=kx-1经过直线y=x+1与直线x+y=3的交点C(1,2)时,k最小,此时kCM=eq \f(2-(-1),1-0)=3,因此k≥3,即k∈[3,+∞).故选D.
4.(2019·湖北黄冈模拟)若A为不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0,,y≥0,,y-x≤2))表示的平面区域,则a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( )
A.9eq \r(13) B.3eq \r(13)
C.eq \f(7,2) D.eq \f(7,4)
解析:选D.如图,不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0,,y≥0,,y-x≤2))表示的平面区域是△AOB,
由动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-2变化到1,知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形,△OEC是直角边为1的等腰直角三角形,联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+y=1,,y-x=2,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=-\f(1,2),,y=\f(3,2),))所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(3,2))),所以区域的面积S阴影=S△ACD-S△OEC=eq \f(1,2)×3×eq \f(3,2)-eq \f(1,2)×1×1=eq \f(7,4),故选D.
5.实数x,y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥a,,y≥x,,x+y≤2))(a1),且z=2x+y的最大值是最小值的4倍,则a的值是( )
A.eq \f(2,11) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
解析:选B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示,当目标函数z=2x+y经过可行域中的点B(1,1)时有最大值3,当目标函数z=2x+y经过可行域中的点A(a,a)时有最小值3a,由3=4×3a,得a=eq \f(1,4).
6.(2019·开封模拟)
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