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第1讲 不等关系与不等式
1.已知a,b为非零实数,且ab,则下列不等式一定成立的是( )
A.a2b2 B.ab2a2b
C. eq \f(1,ab2)eq \f(1,a2b) D. eq \f(b,a)eq \f(a,b)
解析:选C.若ab0,则a2b2,故A错;若0ab,则eq \f(b,a)eq \f(a,b),故D错;若ab0,即a0,b0,则a2bab2,故B错;故C正确.所以选C.
2.(2019·石家庄市质量检测)已知a0b,则下列不等式一定成立的是( )
A.a2-ab B.|a||b|
C.eq \f(1,a)eq \f(1,b) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(b)
解析:选C.法一:当a=1,b=-1时,满足a0b,此时a2=-ab,|a|=|b|,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(b),所以A,B,D不一定成立.因为a0b,所以b-a0,ab0,所以eq \f(1,a)-eq \f(1,b)=eq \f(b-a,ab)0,所以eq \f(1,a)eq \f(1,b)一定成立,故选C.
法二:因为a0b,所以eq \f(1,a)0eq \f(1,b),所以eq \f(1,a)eq \f(1,b)一定成立,故选C.
3.(一题多解)若m0,n0且m+n0,则下列不等式中成立的是 ( )
A.-nmn-m B.-nm-mn
C.m-n-mn D.m-nn-m
解析:选D.法一(取特殊值法):令m=-3,n=2分别代入各选项检验即可.
法二:m+n0?m<-n?n-m,又由于m0n,故m-nn-m成立.
4.已知下列四个条件:①b0a,②0ab,③a0b,④ab0,能推出eq \f(1,a)eq \f(1,b)成立的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:选C.由不等式的倒数性质易知条件①,②,④都能推出eq \f(1,a)eq \f(1,b).由a0b得eq \f(1,a)eq \f(1,b),故能推出eq \f(1,a)eq \f(1,b)成立的条件有3个.
5.下列四个命题中,正确命题的个数为( )
①若a|b|,则a2b2;②若ab,cd,则a-cb-d;
③若ab,cd,则acbd;④若ab0,则eq \f(c,a)eq \f(c,b).
A.3 B.2
C.1 D.0
解析:选C.易知①正确;②错误,如32,-1-3,而3-(-1)=42-(-3)=5;③错误,如31,-2-3,而3×(-2)1×(-3);④若ab0,则eq \f(1,a)eq \f(1,b),当c0时,eq \f(c,a)eq \f(c,b),故④错误.所以正确的命题只有1个.
6.若a1a2,b1b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是________.
解析:作差可得(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)·(b1-b2),
因为a1a2,b1b2,
所以(a1-a2)(b1-b2)0,
即a1b1+a2b2a1b2+a2b1.
答案:a1b1+a2b2a1b2+a2b1
7.设ab,有下列不等式①eq \f(a,c2)eq \f(b,c2);②eq \f(1,a)eq \f(1,b);③|a||b|;④a|c|≥b|c|,则一定成立的有________.(填正确的序号)
解析:对于①,eq \f(1,c2)0,故①成立;
对于②,a0,b0时不成立;
对于③,取a=1,b=-2时不成立;
对于④,|c|≥0,故④成立.
答案:①④
8.若角α,β满足-eq \f(π,2)αβπ,则α-β的取值范围是______.
解析:因为-eq \f(π,2)απ,-eq \f(π,2)βπ,
所以-π-βeq \f(π,2),
所以-eq \f(3π,2)α-βeq \f(3π,2).又因为αβ,
所以α-β0,从而-eq \f(3π,2)α-β0.
答案:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3π,2),0))
[综合题组练]
1.若6a10,eq \f(a,2)≤b≤2a,c=a+b,则c的取值范围是( )
A.[9,18] B.(15,30)
C
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