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高二(上)期末数学试卷
一.选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求
1.双曲线x2
A.y±4x=0 B.y±2x=0 C.x±2y=0 D.x±4y=0
2.已知复数z=2i1-i,则
A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.﹣1+2i D.1﹣2i
3.设a、b是实数,则“a>b>0”是“a2>b2”的( )
A.充分必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.用数学归纳法证明“1+12+13+?+12n-1<n(n∈N*)”时,由假设n=k(k>1
A.2k﹣1 B.2k﹣1 C.2k D.2k+1
5.已知函数f(x)=x2+ax在[1,+∞)上是增函数,则实数
A.(﹣∞,﹣2) B.(﹣∞,﹣2] C.(﹣∞,2) D.(﹣∞,2]
6.设P为椭圆C:x216+y29=1上的点,F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,PF1→
A.3 B.4 C.5 D.6
7.已知函数f(x)=(-12x2+1)e2
A.f(1)是f(x)的极大值也是最大值
B.f(1)是f(x)的极大值但不是最大值
C.f(﹣2)是f(x)的极小值也是最小值
D.f(x)没有最大值也没有最小值
8.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,且所有的棱长都相等,E是BC中点,则下列叙述正确的是( )
A.直线AA1与B1E相交
B.AE⊥B1E
C.二面角E﹣AB1﹣B的正切值为74
D.A1C1∥平面AB1E
9.定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)满足x2f′(x)+2>0,且f(2)=2,则不等式f(1x)>2x+1
A.(12,+∞) B.(0,1) C.(0,12) D.(1,
10.如图,点M,N分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1,BB1的中点,以正方体的六个面的中心为顶点构成一个八面体,若平面D1MNC1将该八面体分割成上、下两部分的体积分别为V1、V2,则V1
A.111 B.112 C.113 D
二.填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题6分,共36分
11.抛物线x2=y的焦点F的坐标为 ,若该抛物线上有一点P满足|PF|=54,且P在第一象限,则点P的坐标为
12.函数y=x2?lnx的图象在点(1,0)处切线的方程是 .该函数的单调递减区间是 .
13.椭圆C:x28+y24=1的焦距为 ,直线l与椭圆C交于M,N两点,椭圆的下顶点为A,左焦点恰好是△AMN
14.已知直线l1:x﹣y+3=0和l2:x+y+1=0的交点为A,过A且与x轴和y轴都相切的圆的方程为 ,动点B,C分别在l1和l2上,且|BC|=2,则过A,B,C三点的动圆扫过的区域的面积为 .
15.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得平面ADC⊥平面ABC,则直线AD与BC所成角的大小为 .
16.存在x∈[3,4]使得x(x﹣a)2≤1成立,则实数a的取值范围是 .
17.如图,点F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,直线y=kx分别与双曲线C的左、右两支交于A、B两点,且满足FA⊥AB,O为坐标原点,∠ABF=∠AFO,则双曲线
三、解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
18.已知命题p:方程x2a+y2a-1=1表示焦点在x轴上的双曲线,命题q:复平面内表示复数z=(a﹣3)
(Ⅰ)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若命题p是假命题,q是真命题,求实数a的取值范围.
19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,BC⊥CD,侧面PAB为等边三角形,AB=BC=2CD=2.
(Ⅰ)证明:AB⊥PD;
(Ⅱ)若PD=2,求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
20.如图,过抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l上,点M(﹣1,0)的直线l1交抛物线C于A,B两点,线段AB的中点为P.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)若|MA||MB|=λ|OP|2,求实数λ的取值范围.
21.如图,点M在椭圆x22+y2b=1(0<b<2)上,且位于第一象限,F1,F2为椭圆的两个焦点,过F1,F2,M的圆与y轴交于点P,Q(P在Q的上方),
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)直线PM与直线x=2交于点N,试问,在x轴上是否存在定点T,使得TM→?TN→为定值?若存在,求出点
22.已知f(x)=
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