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第4讲 简单的三角恒等变换
三角函数式的化简
化简:(1)eq \f((1+sin θ+cos θ)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(θ,2)-cos \f(θ,2))),\r(2+2cos θ))(0<θ<π);
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan \f(α,2))-tan \f(α,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+tan α·tan \f(α,2))).
【解】 (1)原式=
eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin \f(θ,2)cos \f(θ,2)+2cos2\f(θ,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(θ,2)-cos \f(θ,2))),\r(4cos2\f(θ,2)))
=eq \f(cos \f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2 \f(θ,2)-cos2\f(θ,2))),\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos \f(θ,2)))))
=eq \f(-cos \f(θ,2)·cos θ,\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos \f(θ,2))))).
因为0<θ<π,所以0<eq \f(θ,2)<eq \f(π,2),所以cos eq \f(θ,2)>0.
所以原式=-cos θ.
(2)原式=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos \f(α,2),sin \f(α,2))-\f(sin \f(α,2),cos \f(α,2))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(sin α,cos α)·\f(sin \f(α,2),cos \f(α,2))))
=eq \f(cos2\f(α,2)-sin2\f(α,2),sin \f(α,2)cos \f(α,2))·eq \f(cos αcos \f(α,2)+sin αsin \f(α,2),cos αcos \f(α,2))
=eq \f(2cos α,sin α)·eq \f(cos \f(α,2),cos αcos \f(α,2))
=eq \f(2,sin α).
eq \a\vs4\al()
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”,这是最重要的一个环节,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;
(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等.
1.(2020·义乌模拟)化简:eq \f(2sin(π-α)+sin 2α,cos2\f(α,2))=________.
解析:eq \f(2sin(π-α)+sin 2α,cos2\f(α,2))=eq \f(2sin α+2sin αcos α,\f(1,2)(1+cos α))=
eq \f(4sin α(1+cos α),1+cos α)=4sin α.
答案:4sin α
2.化简:eq \f(2cos4x-2cos2x+\f(1,2),2tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+x))).
解:原式=eq \f(-2sin2xcos2x+\f(1,2),\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x))cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x))))
=eq \f(\f(1,2)(1-sin22x),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x)))
=eq \f(\f(1,2)cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-2x)))
=eq \f(1,2)cos 2x.
三角恒等式的证明
求证:
(1)cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos
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