全等证明辅助线三.docx

全等证明——协助线（三） ——中点问题 中线类协助线作法： 1、碰到三角形的中线，能够倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，通 过全等将分别的条件集合起来，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” ． 2、碰到题中有中点，能够结构三角形的中位线，利用中位线的性质转移线段关系． 3、碰到三角形的中线或与中点相关的线段，如果有直角三角形，能够取直角三角形斜边的 中点，试图结构直角三角形斜边的中线，利用斜边中线的性质转移线段关系． 考点一 中线倍长 1、如图，在 ABC 中， AD 交 BC 于点 D ，点 E 是 BC 中点， EF ∥ AD 交 CA 的延伸线于点 F，交EF于点G，若BG CF ，求证： AD 为 ABC 的角平分线． F A A M G N B ED C B D C E 2、如下图，在 ABC 中，D 是 BC 的中点， DM 垂直于 DN ，如果 BM 2 CN 2 DM 2 DN 2 ， 求证 AD2 1 AB2 AC 2 ． 4 A A M M N N B D C B D C E 精选文库 3、如下图，在 ABC 中， AB AC ，延伸 AB 到 D ，使 BD AB ， E 为 AB 的中点，连 接CE、CD，求证 CD 2EC． A F A E E B C B C D D 4、如图，菱形 ABCD 中，∠ ABC=120°，E、F分别为 BC、CD 边上上的点， 知足∠ DAE= ∠BAF ， （ 1）求证： △ CEF为等边三角形； （2）G为AF中点，已知 GE= 3 ，求 GD的长 . A D G F B E C 5、如图，等腰直角 ABC 与等腰直角 BDE ， P 为CE中点，连结 PA、 PD . 探究 PA、 PD 的关系 . -- 2 精选文库 6、在菱形 ABCD 和正三角形 BGF 中，∠ ABC=60°， P 是 DF 的中点，连结 PG、 PC． （1）如图 1，当点 G 在 BC 边上时，若 AB=10 ， BF=4 ，求 PG 的长； （2）如图 2，当点 F 在 AB 的延伸线上时，线段 PC、PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想；并赐予证明 . 3）如图 3，当点 F 在 CB 的延伸线上时， (2) 问中关系还建立吗？写出你的猜想，并赐予证明 . D C D C D C P F P G G P A F A G A B B 图 1 B 图 2 图 3 F 7、已知： △ACB 与△ DCE 为两个有公共极点 C 的等腰直角三角形， 且∠ ACB= ∠ DCE=90°， AC=BC ， DC=EC ．把 △DCE 绕点 C 旋转，在整个旋转过程中，设 BD 的中点为 N ，连结 CN． （1）如图①，当点 D 在 BA 的延伸线上时，连结 AE ，求证： AE=2CN ； 2）如图②，当 DE 经过点 A 时，过点 C 作 CH ⊥ BD ，垂足为 H，设 AC 、 BD 相交于 F， 若 NH=4 ， BH=16 ，求 CF 的长． -- 3 精选文库 8、如图，∠ BAC＝ 60°，∠ CDE ＝ 120 °， AB＝ AC， DC＝ DE，连结 BE， P 为 BE 的中点 如图 1，若 A、 C、 D 三点共线，求∠ PAC 的度数 如图 2，若 A、 C、 D 三点不共线，求证： AP ⊥DP 如图 3，若点 C 线段 BE 上， AB＝ 1，CD ＝ 2，请直接写出 PD 的长度 考点二 中位线 1、在 ABC 中， ACB 90 ， AC 1 BCD，E是CD的中 BC ，以 BC 为底作等腰直角 2 点，求证： AE EB 且 AE BE ． D D E E C C F A B A B -- 4 精选文库 2、已知，如图四边形 ABCD 中， AD BC ， E 、 F 分别是 AB 和 CD 的中点， AD 、 EF 、 BC 的延伸线分别交于 M 、 N 两点．求证： AME BNE ． N N M M F F C C D D H A E B A E B 3、如图 1，正方形 ABCD 中，AC 是对角线，等腰 Rt CMN 中， CMN ， MN ， 90 CM 点 M 在 CD 边上；连结 AN ，点 E 是 AN 的中点，连结 BE ． （ 1）若 CM 2， AB 6 ，求 AE 的值； （ 2）求证： 2BE AC CN ； 3）当等腰 Rt CMN 的点 M 落在正方形 ABCD 的 BC 边上，如图 2，连结 AN ，点 E 是 AN 的中点，连结 BE ，延伸 NM 交 AC 于点 F ．请探究线段 BE 、 AC 、 CN 的 数量关系，并证明你的结论． 图 1