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第3讲 三角形一边的平行线(二)
【学习目标】
三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容,本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论,以及平行线分线段成比例定理;重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系,难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论,并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法,为学习相似三角形的性质和判定做好准备.
【基础知识】
一、三角形一边的平行线判定定理及推论
1、三角形一边的平行线判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.
2、三角形一边的平行线判定定理推论
如果一条直线截三角形的两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.
如图,在中,直线与、所在直线交于点和点,如果那么//.
二:平行线分线段成比例定理
1、平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例.
如图,直线////,直线与直线被直线、、所截,那么.
2、平行线等分线段定理
两条直线被三条平行的直线所截,如果一条直线上截得的线段相等,那么另一条直线上截得的线段也相等.
【考点剖析】
考点一:三角形一边的平行线判定定理及推论
例1.在中,点、分别在边、上,根据下列条件,试判断与是否平行.
(1),,,;
(2),,,;
(3),,,;
(4),.
例2.如图,,则 .
例3.如图,中,点、分别在和的延长线上,且,则 .
例4.如图,中,点在边上,点在边上,下列命题中不正确的是( )
(A)若//,则
(B)若,则//
(C)若//,则
(D)若,则//
例5.如图,点、在的边上,点在边上,且//,.
求证://.
例6.如图,四边形中,、相交于点,若,,,,求的长.
例7.点、分别在的边、上,如果,能否得到//, 为什么?
例8.如图,为的中点,//,联结、分别交、于点和点.
求证://.
例9.如图,//,且.求证://.
例10.如图,、是的边上的两点,满足.联结,过点 作//,交边于点,联结.求证://.
例11.点、分别在的边、上,且//,以为一边作平行四边 形,延长、交于点,连接,求证://.
例12.如图,在菱形中,点、分别在边、上,,与 交于点,又.求证:四边形是平行四边形.
考点二:平行线分线段成比例定理
例1.如图,////,,,, 求、的长.
例2.如图,直线、、分别交直线于点、、,交直线于点、、, 且////.已知,,,求、的长.
例3.命题“梯形中,//,点、在、上,且,则//”是 (选填“真”或“假”)命题.
例4.如图,中,,四边形为内接正方形,,,则
.
例5.已知线段、、,求作线段,使.
例6.如图,在等腰梯形中,//,两对角线和相交于点,过点 作//,且,若,求梯形中位线的长.
例7.如图,已知点、、和点、、分别是两边上的点,且//,//.
求证://.
【过关检测】
一、单选题
1.(2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考)如图,直线,另两条直线分别交这三条直线点A、B、C、D、E、F,且AB=3,DE=4,EF=2,则( )
A.BC:DE=1:2 B.BC:DE=2:3 C.BC·DE=8 D.BC·DE=6
2.(2020·上海交大附中九年级期中)在中,点、分别在边、的延长线上(如图),下列四个选项中,能判定的是( )
A. B. C. D.
3.(2021·上海九年级一模)在中,点D、E分别在边、上,下列条件中,能判定的是( )
A. B. C. D.
4.(2021·上海九年级专题练习)如图,已知AD//BE//CF,下列比例式成立的是( )
A. B. C. D.
5.(2021·上海九年级一模)在△ABC中,点D、E分别在边BA、CA的延长线上,下列比例式中能判定DE∥BC的为( )
A. B. C. D.
二、填空题
6.(2021·上海九年级一模)如图,,如果, ,,那么的长是______.
7.(2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习)如图,AB∥CD∥EF,AF=8,AD=3,BC=2,则CE= ___________.
三、解答题
8.(2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习)如图,B、C、D、N分别是⊿AMO边AO、MO上的点,MC∥ND,,求证:NB∥MA
9.(2021·上海)如图,已知ADBECF,它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F,且AB=6,BC=8.
(1)求的值;
(2)当AD=5,CF=19时,求BE的长.
10.(2021·上海九年级专题练习)如图,已知点在的边上,且,以为一边
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