几何分布的定义以及期望与方差的证明.pdf

几 何 分 布 的 定 义 以 及 期 望 与 方 差 几何分布（ Geometric distribution ）是离散型概率分布。其中一种定义为：在 n 次 伯努利试验 中，试验 k 次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前 k-1 次皆失败，第 k 次成功的概率。 公式： 它分两种情况： 1. 得到 1 次成功而进行， n 次伯努利 实验， n 的概率分布 ，取值范围为『 1，2 ，3，...』; 2. m = n-1 次失败，第 n 次成功， m 的概率分布，取值范围为『 0， 1，2，3， ...』. 由两种不同情况而得出的期望和方差如下： , ; , 。 概率为 p 的事件 A ，以 X 记 A 首次发生所进行的试验次数，则 X 的分布列： ， 具有这种分布列的 随机变量 X ，称为服从参数 p 的几何分布，记为 X~ Geo(p)。 几何分布的期望 ，方差 。 高中数学教科书新版第三册（选修 II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中 1 1 p 只给出了结论：（ 1） E ，（ 2 ） D ，而未加以证明。本文给出证明，并用于解 2 p p 题。 k 1 （1）由 P( k ) q p ，知 2 k 1 2 k 1 E p 2 pq 3q p kq p (1 2 q 3q kq ) p 下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记 2 k 1 S 1 2q 3q kq k 2 k 1 k ( ) qSk q 2q k 1 q kq 两式相减，得 2 k 1 k (1 q )Sk 1 q q q kq k k 1 q kq S k 2 (1 q) 1 q k 由 0 p 1，知 0 q 1，则 lim q 0 ，故 k 2 k 1 1 1 1 2 p 3q kq lim Sk 2 2 k (1 q ) p