巧用图形运动构造全等三角形及其变换.pdf

. 巧用图形运动构造全等三角形 学习了全等之后，我们可以利用全等证两条线段相等 ．基本 步骤为： （1 ）观察要证明的线段在哪两个可能全等的三角形中，找到并证明这两个三角形全等； （2 ）若所证线段不在全等三角形中，可以相等线段替换后，证三角形全等； （3 ）如果没有相等线段替换，则可以根据图形结合已知添加适当辅助线构造全等三角形． 前两个步骤对于同学们来说并不是很困难， 难就难在如何根据图形结合已知添加适当辅助线构造全等 三角形． 如果我们能从图形运动的角度， 采取平移、 翻折、 旋转等方法， 就可以先找出辅助线的位置， 再恰当的做出辅助线构造全等三角形解决问题． 我们先看一下一道经典习题的常规解法． 【草根批注：设正方形边长为 a ，AM=b ，BM=a-b ，BQ=QN=c ，利用相似列等式，进行等式变形即 可】 除了上述的常规构造解法，此题我们可以利用图形的运动巧添辅助线 . . 【草根批注：先证 △MBN ≌△ MBH ，再通过 等角对等边“ ”证 DM=MH 】 【草根批注：易证 △QMB 为等腰直角三角形，再证 △DQM ≌△ MBN 】 【草根批注：易证 △ABH 是等腰直角三角形，继而可知 AB 垂直平分 DH ，从而可知 DM=MH ，再通 过等角对等边证 “MH=MN”】 . . 【草根批注：易证 △AMH 是等腰直角三角形，继而证明 △MBN ≌△ MBH 】 通常的情况下，我们是利用方法 1 和方法 2 来构造全等三角形解决问题．方法 3 、方法 4 、方法 5、 方法 6 巧妙地运用了图形的运动来构造全等三角形解决问题．图形的运动不改变图形的形状和大小， 只改变图形的位置，从而达到优化图形结构，进一步整合图形条件的目的，使较为复杂的问题得以创 造性地解决． 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．如果我们能运用 动“ ”的思路观察、分析、推理、探 究相关图形的位置变化情况或图形的相关性质就能巧妙地解决问题． 【草根批注：一道普通试题变化孕育出这么多精彩绝伦的解法，足见沈老师在此用足了心思，这也是 草根一看到这篇文章就要来转载的原因。 不过在这些表面光鲜运用图形运动的解法背后， 其实道道对 于学生利用等 （同）角和差证等角的功力提出了相当的挑战， 草根一直认为几何证明题大的方面要会 添辅助线、小的方面要会证等角 ，所以把这六种解法拿去上课，既能开拓学生视野，而且还能锻炼学 生证等角的能力】 一道几何证明题的变化演变 运用“问题变式”教学逐步帮助学生掌握辅助线添加方法的尝试 对于一些学生普遍感到有困难的数学问题的解决， 一个基本思路就是把没有解决的问题化归为已经解 决的问题，复杂的问题化归为简单的问题（波利亚， 1945）。由于在未解决问题（复杂问题）和解决 了的简单问题之间没有清晰的联系，因此有时需要运用“问题变式”为完成这种化归设置一些路径。 这一转换过程可以用图 1 来表示。 在初中的数学教学中就有一些学生掌握较困难的难点，例如：几何证明中的“辅助线添加”。在实际 教学中，我发现虽然教师针对这一难点，讲解了很多例题，学生也操练了不少习题，但实际效果并不 . . 理想，很多学生面对新的需要“添加辅助线”的数学问题时，依旧感到束手无策，可见学生对于辅助 线添加的方法还没有真正掌