【高中数学】圆锥曲线常见条件翻译转化.docx

圆锥曲线常见条件翻译转化 第一节 :三角形的面积表达 一、直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系的判断 判断直线l与圆锥曲线 C 的位置关系时 ,通常将直线 l的方程Ax+By+c=0 代入圆锥曲线 C的方程F(x,y)=0 ,消去y(也可以消去 x)得到关系一个变量的 一元二次方程 ,,即 Ax+By+c=0 F(x,y)=0 , 消去 y 后得 ax2 +bx + c = 0 当a=0时,即得到一个一元一次方程 ,则l与C 相交,且只有一个交点 ,此时, 若C 为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行 ;若C为抛物线,则直线l与抛物线 的对称轴平行 当a≠0时,?0 ,直线l与曲线C 有两个不同的交点 ; ?=0,直线l与曲 线C 相切,即有唯一的公共点 (切点); ?0 ,直线l与曲线C 二、圆锥曲线的弦 连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦 直 线 l : f(x,y)=0 , 曲 线 C :F(x,y)= 0, A,B 为 l与 C的 两 个 不 同 的 交 点 , 坐 标 分 别 为 A( x1, y1), B(x2, y2) , 则 A(x1, y1), B(x2 , y2) 是方程组 f (x, y)= 0 的两组解 , F (x, y)= 0 方程组消元后化为关于 x或y 的一元二次方程 Ax2 +Bx+c=0( A ≠0) , 判别式 ?= B2- 4AC , 应有 ? 0 , 所以 x1, x2是方程 Ax2 + Bx+ c = 0 的根 , 由根与系数关 系( 系( 韦达定理 ) 求出 x1 + x2 = - , x1x2 = A A , 所以 A, B 两点间的距离为 AB = 1+ k 2 x - x = 1+ k 2 2 1 2 (x + x ) - 4x x 1 2 1 2 = 1 + k 2 ? A , 即弦长公式 , 弦长 公式也可以写成关于 y 的形式 AB = 1+ k 2 y - y 2 1 2 = 1 + k2 ( 1 y + y 2 ) - 4 y y k ≠0 1 2 ( ) 三、三角形面积求法 方法 1 底 ×高 2 1 2 ab sin C 拆分 : S=? 1 2 F1 F2 y1 - y2 , S=? 1 2 F1F2 x1 - x2 【基础】 【例 1】. 设 F， F 分别是椭圆 E： x + 2 y2 1 2 b 2 =（1 0＜b＜1）的左、右焦点 ,过 F 的直线 1 交于 A、B 两点,且| AF2 |，| AB |，| BF2 |成等差数列 . (1)求| AB |; (2)若直线 l 的斜率 1为,求b 的值. 【解答】 解:(1)由椭圆定义知 | AF2|+| AB|+| BF2| =4 又 2| AB| =| AF2|+| BF2| ,得| ???|?=???? 3 适合题型 一切题型 边角已知的题 过定点的题 备注 不一定简单 简单 简单 l 与E 相 (2)L的方程式为y=x+c,其中??=??√1 - ???? 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B两点坐标满足方程组 ? ., ??=????+????? 2 2 ???? ???+? 2 = 1 化简得 (1+b2)x2+2cx+1﹣2b2=0.则???? ???? . 2 12 -2????121-2???? + ???=? 2 ,?????=? 1+ ???? 2 1+ ???? 因为直线 AB的斜率为 1,所以|???|?=??√?2?|???? 2 1 4 - ??|? 即? 3= 则 2|??2?-? ??1|?.? √ .解得??=?? . 2 8 2 4(1-????) 2 4(1-2????) 4 ? 8???? 2 = (?1??+??2?)??- 4?1??2??=? 2 2- 2 = 2 2 2 9 (1+???)? 1+???? ( 1+???)? 【例 2】.如图, F1，F2分别是椭圆 C : 2 2 ???? ???? ????????顶点,B是直线AF2与椭圆C 的另一个交2点+ ,∠2F=1A1（F2a=＞60b＞°.0）的左、右焦点,A是椭圆C 的 ???? ???? 求椭圆 C 的离心率 ; 已知 AF1B的面积为40 3 ,求a，b的值. 【解答】解:(1)∠F1AF2=60°? a=2c? e= =. ???1? (2) 设|BF2|=m, 则|BF1|=2a﹣m, 在?三??2?角形 BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣ 2|BF2|| F1F2|cos120°? (2a﹣m)2=m2+a2+am.? m= 3 5??.?? △AF1B面积 S= 1 2 |BA|| F1A|sin60°