【高中数学】圆锥曲线大题十个大招.docx

终结圆锥曲线大题十个大招 招式一：弦的垂直平分线问题 2.. 招式二：动弦过定点的问题 ...................................................3.. 招式四：共线向量问题 ..........................................................5... 招式五：面积问题 ................................................................12. 招式六：弦或弦长为定值、最值问题1.5 招式七：直线问题 ................................................................19. 招式八：轨迹问题 ................................................................23. 招式九：对称问题 ................................................................31. 招式十、存在性问题 ............................................................34. 招式一：弦的垂直平分线问题 招式一：弦的垂直平分线问题 例题 1、过点 T(-1,0) 作直线 l 与曲线 N ：y2 x 交于 A 、B 两点，在 x 轴上是否存在一点 E( x ,0)，使得 0 ABE 是等边三角形，若存在，求出 x0 ；若不存在，请说明理由。 解： 依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。 设直线 l : y k(x 1) ， k 0 ， A(x1, y1) ， B(x2, y2) 。 由 y y2 k( x x 1) 消 y 整理，得 2 2 k x 2 2 (2k 1)x k 0 ① 由直线和抛物线交于两点，得 2 (2 k 1) 2 4k 4 2 4k 1 0 即 0 k 2 1 4 ② 由韦达定理，得： x 2k 2 2 1 x 2 k 2 1 , x x 1 2 1 。则线段 AB 的中点为 ( 2 k 2k 2 1 , 1 ) 。 2k 线段的垂直平分线方程为： y 1 2k 1 k (x 1 2 k 2 2 k 2 ) 令 y=0, 得 x0 1 2 k 2 1 ，则 E( 2 1 2k 2 1 ,0) 2 ABE 为正三角形， E( 1 2 k2 1 ,0) 到直线 AB 的距离 d 为 2 3 AB 。 2 AB (x 2 2 1 1 x ) 2 ( y 1 y ) 2 k 4k2 2 1 k 2 d 1 k 2 2 k 3 1 4k2 2k 2 1 k 2 1 k 2 2 k 解得 k 39 满足②式此时 x0 13 5 。 3 【涉及到弦的垂直平分线问题】 这种问题主要是需要用到弦 AB的垂直平分线 L的方程，往往是利用点差．或．者．韦．达．定．理．．产生弦AB的 中点坐标 M，结合弦 AB与它的垂直平分线 L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线 L的方程，然后解决相关问题，比如：求 L在x轴y轴上的截距的取值范围，求 L 过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦 AB的中点问题，比如：弦与某定点 D构成以D为顶点的等腰三角形（即 D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点 AB关于直线 m对称等等。 例题分析 1：已知抛物线 y=-x2+3上存在关于直线 x+y=0对称的相异两点 A、B，则|AB|等于 2 解：设直线AB的方程为 y x b，由 y x 3 x2 x b 3 0 x1x2 1，进而可求出 AB y x b 的中点 M ( 1, 1 b) ，又由 M ( 1, 1 b)在直线x y 0上可求出 b 1，∴ x2 x 2 0，由弦 2 2 长公式可求出 AB 21 1 1 2 2 2 24 ( 2) 3 2． 2 招式二：动弦过定点的问题 x2 y2 3 例题2、已知椭圆 C： 22 1(a b a b 0)的离心率为 ， 2 且在x轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II ）若直线 l:x t(t 2)与x轴交于点 T,点P为直线l上异于 点T的任一点，直线 PA1,PA2分别与椭圆交于 M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 解：（I）由已知椭圆 C的离心率e c a 3 ， a 2 2,则得 c 3,b 1。从而椭圆的方程为 x 24 2 y2 1 （II ）设 M ( x1, y1) ， N ( x2, y2 ) ，直线 A1M的斜率为 k1