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第十七讲 梯形
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形,等腰梯形是一类特殊的梯形,其判定和性质定理
与等腰三角形的判定和性质类似.
通过作辅助线,把梯形转化为三角形、平行四边形,这是解梯形问题的基本思路,常用的辅助线的作
法是:
1.平移腰:过一顶点作一腰的平行线;
2.平移对角线:过一顶点作一条对角线的平行线;
3.过底的顶点作另一底的垂线.
熟悉以下基本图形、基本结论
例题求解
【例1】如图,四边形ABCD 中,AB∥CD,∠D=2∠B,若AD=a ,AB=b, CD 的长是 .( “希
望杯”邀请赛试题)
思路点拨 平移腰,构造等腰三角形、平行四边形.
注 平移腰、平移对角线的作用在于,能得到长度为梯形上下底之差或之和的线段,能把题设条件集中到
同一三角形中来.
【例2】 已知一个梯形的4 条边的长分别为1、2、3、4,则此梯形的面积等于( )
10
A.4 B.6 C.8 2 D. 2
3
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 给出4 条线段,要构成梯形需满足一定条件,解题的关键是确定可能的上、下底.
1
注 给出4 条线段不一定能构成梯形,需满足一定的条件,讨论的方法是通过平移腰,把问题转化为三角
形的问题讨论,请读者思考,设为梯形的上、下底,c、为腰,那么a、b、c、d 满足怎样的条件?
【例3】(1)如图,已知等腰梯形ABCD 中,AB=CD,AD∥BC,E 是梯形外一点,且EA=ED,求证:EB=EC
(2)请你将(1)中的“等腰梯形”改为另一种四边形,其余条件不变,使结论“EB=EC”仍然成立,再
根据改编后的问题画图形,并说明理由.
(黄冈市中考题)
思路点拨 要使“EB=EC”仍然成立,只需新的四边形与等腰梯形有一些共同的特征.
【例4】 如图,已知梯形ABCD 中,BC∥AD,AD=3,BC=6,高 =2,P 是BC 边上的一个动点,直线 过h
m
P 点,且m∥DC 交梯形另外一边于E,若BP=x,梯形位于直线m 左
侧的图形面积为y
(1)当3x≤6 时,求y 与x 之间的关系式;
(2)当0≤x≤3 时,求y 与x 之间的关系式;
1
(3)若梯形ABCD 的面积为S,当y= S 时,求x 的值.
2
(龙岩市中考题)
思路点拨 随着P 点在BC 上运动,梯形位于直线m 左侧的图形形状也发生改变,故解本例的关键是
分类讨论及梯形常用辅助线的添出.
注 削弱证明的难度,赋以点(或线)运动,在动态过程中解几何问题,这是近年中考试题中几何问题
的一个显著特点,这类问题需要动态分材(以静制动,动中觅静).
分类讨论、数形结合,给我们深入探究问题留下了广阔的空间,同时对我们能力的形成与提高提出了
新的要求.
【例5】 如图,在等腰梯形ABCD 中,CD∥AB,对角线AC、BD 相交于O,∠AOD=120°,点S、P、Q
分别为OD、OA、BC 的中点.
(1)判断△SPQ 的形状并证明你的结论;
(2)若AB=5,CD=3,求△PQS 的面积;
2
S 7 CD
(3) PQS ,求 的值.
S 8 AB
AOD
思路点拨 多个中点给人以广泛的联想:等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.
注 等腰梯形连对角线后,就产生等腰三角形,当对角残互相垂直时,就得到等腰直角三角形,所以解等
腰梯形有关问题时,需要综合运用特殊三角形的知识.
学力训练
1.观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题:
梯形个数 l 2 3 4 5 „
图形周长 5 8 11 14
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