圆与相似三角形、三角函数专题(含答案).pdf

精选文档 圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合 类型一：圆与相似三角形的综合 1 ．如图， BC 是⊙ A 的直径，△ DBE 的各个顶点均在⊙ A 上， BF ⊥DE 于点 F.求证： BD ·BE ＝ BC ·BF. 2 ．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝ 90 °，以AC 为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D ，过点 D 作 ⊙O 的切线，交 BC 于点 E. (1) 求证：点 E 是边 BC 的中点； 2 (2) 求证： BC ＝ BD ·BA ； (3) 当以点 O ， D ， E，C 为顶点的四边形是正方形时，求证：△ ABC 是等腰直角三角形． 解：(1) 连结 OD ，∵DE 为切线， ∴∠EDC ＋∠ODC ＝90 °. ∵∠ACB ＝90 °，∴∠ECD ＋∠OCD ＝90 °.又 ∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD ， ∴∠EDC ＝∠ECD ，∴ED ＝EC. ∵AC 为直径，∴∠ADC ＝90 °，∴∠BDE ＋∠EDC ＝90 °，∠B ＋∠ ECD ＝90 °，∴∠B ＝∠BDE ，∴ED ＝EB，∴EB＝ EC，即点 E 为边 BC 的中点 (2) ∵AC 为直径，∴∠ADC ＝∠ACB ＝90 °.又∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△CBD ，∴ABBC ＝ BCBD ， 可编辑 精选文档 ∴BC2 ＝BD ?BA (3) 当四边形 ODEC 为正方形时，∠ OCD ＝45 °.∵AC 为直径，∴∠ADC ＝90 °，∴∠CAD ＝90 ° －∠OCD ＝90 °－45 °＝45 °，∴Rt △ABC 为等腰直角三角形 类型二：圆与解直角三角形的综合 3 ．如图，在△ABC 中，以 AC 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D ，交 AB 于点 G，且 D 是 BC 的中 点， DE ⊥AB ，垂足为点 E，交 AC 的延长线于点 F. (1) 求证：直线 EF 是⊙ O 的切线； (2) 已知 CF ＝5 ，cosA ＝25 ，求 BE 的长． 解： (1) 连结 OD. ∵CD ＝DB ，CO ＝OA ，∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ∥AB ，AB ＝2OD. ∵DE ⊥AB ，∴DE⊥OD ，即 OD ⊥EF，∴直线 EF 是⊙ O 的切线 (2) ∵OD ∥AB ，∴∠COD ＝∠A ，∴cos ∠COD ＝cosA ＝25. 在 Rt △DOF 中，∵∠ODF ＝90 °，∴ cos ∠FOD ＝ODOF ＝25. 设⊙ O 的半径为 r ，则 rr ＋5 ＝25 ，解得 r ＝103 ，∴AB ＝2OD ＝AC ＝203. 在 Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝90 °，∴cosA ＝AEAF ＝AE5 ＋203 ＝25 ，∴AE ＝143 ，∴BE ＝AB －AE ＝203 －143 ＝2 4 ．(2015 ·资阳)如图，在△ ABC 中， BC 是以 AB 为直径的⊙ O 可编辑 精选文档 的切线，且⊙ O 与 AC 相交于点 D ， E 为 BC 的中点，连结 DE. (1) 求证： DE 是⊙ O 的切线； (2) 连结 AE ，若∠C ＝ 45 °，求sin ∠CAE 的值． 解：(1) 连结 OD ，BD ，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD. ∵AB 是直径， ∴∠ADB ＝90 °，∴∠CDB ＝90 °. ∵E 为 BC 的中点，∴ DE＝BE ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∴∠ODB ＋∠EDB ＝∠OBD ＋∠EBD ， 即∠EDO ＝∠EBO. ∵BC 是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，∴ AB ⊥BC ，∴∠EBO ＝90 °，∴∠ODE