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七年级数学培优讲义（2） 一、实数: （一）【内容解析】 （1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数; 要准确、深刻理解概念。如平方根的概念： ①文字概念：若一个数 x的平方是a,那 么x是a的平方根；②符号概念：若x2 a,那么x ja ；③逆向理解：若x是a的平方 根，那么x2 a。 （2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数 a0 式子有意义; Ja 0;②在算术平方根中，其结果 J3 Ja 0; ③计算中的性质1：（北f a （aR0）； ④计算中的性质2 ④计算中的性质2： v;a2 a a(a 0) a(a 0) ⑤在立方根中，3F Va （符号法则） ⑥计算中的性质3： （3a）3 a； a （3）实数的分类： 正有理数 …必正有理数 正实数 有理数零 正无理数 （二分法）实数 负无理数（三分法）实数零无理数正无理数负无理数负实数负有理数 （二分法）实数 负无理数 （三分法）实数零 无理数 正无理数负无理数 负实数 负有理数 负无理数 （二）【典例分析】 1、利用概念解题： 例1.已知：M 寸;8是a 8的算术数平方根，N 2ab先”是b 3立方根, M N的平方根。 练习：1.已知［x 2y 3,3/4x 3y 2,求x y的算术平方根与立方根。 2.若2a+1的平方根为 冷，a—b+5的平方根为 受，求a+3b的算术平方根。 例2、解方程（x+1） 2=36. 练习：(1) (x 1)2 练习：(1) (x 1)2 9 Tx 1)3 25 5 2、利用性质解题： 例1已知一个数的平方根是 2a—1和a—11,求这个数 变式：① 已知2a-1和a—11是一个数的平方根，则这个数是 : ②若2m—4与3m— 1是同一个数两个平方根，则 m为 例 2.若 y= 3―X + x―3 + 1,求（x+ y） x 的值 例3. x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 ⑴C—Q ⑵⑶与⑷7^ 1 2x .… 例4.已知 % 2x与3/3y 2互为相反数,求 的值. y 练习：1.若一个正数a的两个平方根分别为 x 1和x 3 ,求a2005的值。 .若（x— 3） 2+ Gv 1 =0，求 x + y 的平方根； .已知y - 2x ,4x 2 2,求xy的值. .当x满足下列条件时，求 x的范围。 ① V（2 x）2 =x— 2 ② v3 x=* x 3 ③ Fx=x .若 Va 3i-,则a的值是 8 3、利用取值范围解题： 例1.已知有理数a满足2004 a 7 a 2005 a,求a 20042的值。 3、利用估算比较大小、计算： 估算法的基本是思路是设 a, b为任意两个正实数，先估算出 a, b两数或两数中某部分 的取值范围，再进行比较。 例1 .比较113-3与1的大小 8 7 说明：比较大小的常用方法还有： ①差值比较法： 如：比较1 — 与1 —代的大小。 解 :（ 1 — 22 ） — （1— 33 ） = ^3 — V2 ° , ，1 — y[2 1 — 33。 ②商值比较法（适用于两个正数） 如：比较三3二与1的大小。 TOC \o 1-5 \h \z \o Current Document 5 5 解：,也」=511 .?.卫 \o Current Document 5 5 5 5 ③倒数法：倒数法的基本思路是：对任意两个正实数 a, b,先分别求出a与b的倒数，再 根据当11时，ab。来比较a与b的大小。（以后介绍） a b ④取特值验证法： 比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。 , , -,2 1 ,, 如：当0x1时，x , x, —的大小顺序是 x 一 ，一，…… 1 I, 一 ，一，…… 1 I, 解：（特殊值法）取x=—,则: 2 2 1 1 11c x = ~ , _=2。732, 例2 例2.若3 J5的小数部分是a, 3-45的小数部分是b,求a+b的值。 例3 例3.计算：①6(1-6 ) ；6 ②J3-V2 声2 --1 练习：1.估方t师+1的值是（ ） （A）在2和3之间 （B）在3和4之间 （C）在4和5之间 （D）在5和6之间 .5-1 1 2.比较大小：① —2—1;②3七 一2.1 （填“”、“”） A. A. 8 B. 8 C. 2 D.2 4、利用数形结合解题： TOC \o 1-5 \h \z 例1实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简 |a+b|+?（b a）2的结果是（ ） A、2b B、2a . . . C、—2a D、— 2b a o b CAB例2如图，数轴上表示1、J2的对应点为A、B,点B关于点A的对称点为C,则点C 所表示的数是（ ） CAB A、J2 — 1 B、1 — 2 C、2- 2 D、