精编2022年中考数学总复习 圆的有关计算、证明与探究试题.docVIP

精品 Word 可修改 欢迎下载 精品 Word 可修改 欢迎下载 精品 Word 可修改 欢迎下载 中档题型专训(五) 圆的有关计算、证明与探究 圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系． 　与圆的有关性质 【例1】如图，已知OA，OB是⊙O的两条半径，C，D为OA，OB上的两点，且AC＝BD.求证：AD＝BC. 【解析】首先证明OC＝OD，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD＝BC. 【答案】证明：∵OA，OB是⊙O的两条半径， ∴AO＝BO. ∵AC＝BD，∴OC＝OD， 在△ODA和△OCB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AO＝BO，,∠O＝∠O，,OD＝OC，)) ∴△ODA≌△OCB(SAS)， ∴AD＝BC. 1．(2021玉林一模)如图，AB是半圆O上的直径，E是eq \o(BC,\s\up8(︵))的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE的延长线于点F，已知BC＝8，DE＝2. (1)求⊙O的半径； (2)求CF的长． 解：(1)设⊙O的半径为x， ∵E点是eq \o(BC,\s\up8(︵))的中点，O点是圆心， ∴OD⊥BC，DC＝eq \f(1,2)BC＝4， 在Rt△ODC中，OD＝x－2， ∴OD2＋DC2＝OC2， ∴(x－2)2＋42＝x2， ∴x＝5，即⊙O的半径为5； (2)∵FC是⊙O的切线， ∴OC⊥CF. 又∵E是eq \o(BC,\s\up8(︵))的中点． ∴OD⊥BC，∴OC2＝OD·OF，即52＝3·OF， ∴OF＝eq \f(25,3). 在Rt△OCF中，OC2＋CF2＝OF2，∴CF＝eq \f(20,3). 　圆的切线的性质与判定 【例2】(2021遵义二中一模)如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E. (1)求证：CD为⊙O的切线； (2)若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt△OBF中，∠ABD＝30°，OF＝1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S阴影＝S扇形OBD－S△BOD，即可求解． 【答案】解：(1)连接OD， ∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°. ∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB. ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD. ∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线； (2)在Rt△OBF中， ∵∠ABD＝30°，OF＝1， ∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝eq \r(3). ∵OF⊥BD， ∴BD＝2BF＝2eq \r(3)，∠BOD＝2∠BOF＝120°. ∴S阴影＝S扇形OBD－S△BOD ＝eq \f(120π×22,360)－eq \f(1,2)×2eq \r(3)×1＝eq \f(4,3)π－eq \r(3). 2．(2021南宁中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过eq \o(BD,\s\up8(︵))上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE. (1)求证：△ECF∽△GCE； (2)求证：EG是⊙O的切线； (3)延长AB交GE的延长线于点M，若tanG＝eq \f(3,4)，AH＝3eq \r(3)，求EM的值． 解：(1)∵AC∥EG， ∴∠G＝∠ACG. ∵AB⊥CD， ∴eq \o(AD,\s\up8(︵))＝eq \o(AC,\s\up8(︵))， ∴∠CEF＝∠ACD， ∴∠G＝∠CEF. ∵∠ECF＝∠ECG， ∴△ECF∽△GCE； (2)连接OE. ∵GF＝GE， ∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH. ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA. ∵∠AFH＋∠FAH＝90°， ∴∠GEF＋∠AEO＝90°， ∴∠GEO＝90°， ∴GE⊥OE. 又∵OE为⊙O半径， ∴EG是⊙O的切线， (3)连接OC.设⊙O的半径为r. 在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tanG＝eq \f(AH,HC)＝eq \f(3,4)， ∵AH＝3eq \r(3)， ∴HC＝4eq \r(3)， 在Rt△HOC中， ∵OC＝r，OH＝r－3eq \r(3)，HC＝4eq \r(3)， ∴(r－3eq \r(3))2＋(4eq \r(3))2＝r2， ∴r＝eq \f(25\r(3),6). ∵GM∥AC， ∴∠CAH＝∠M. ∵∠