常见的勾股数及公式.docx

常 见 的 勾 股 数 及 公 式 武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理 我们知道，如果∠ C=90°， a 、 b 、 c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得 a2+b2=c2 ；反之，若三角形的三边 a、 b、 c 满足 a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形， c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数 a、 b 、 c 满足 a2+b2=c2，则称 a 、 b、 c 为勾 股数，记为（ a， b， c）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3， 4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有 第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（ x－１， x， x＋１） ，则由勾股数的定义，得 （x+1） 2+x2= （x+1） 2，解得 x＝４或 x＝０（舍去） ，故三数为连续整数的勾股数只 有一组（３，４，５） ；类似有 3n,4n,5n(n 是正整数 ) 都是勾股数。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５， １２， １３），（９， ４０， ４１），（１１３， ６３３８， ６３８５）， …， 都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什 么呢？ a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n 2+2n+1 （其特点是斜边与其中一股的差为 1） . 分别取 n＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５） ， （５，１２，１３） ， （７， ２４，２５） ，… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９） ， （１１９，１２０，１６９） ， （４０５９，４０ ６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为： （x， x＋ １， 2x2 2x 1）（x 为正整数） 。 1 2 ，2n 12 ，2n 1 2 ， 2n 1 2 ， 2n 1 2 4 4 4 2 n 1 2n 1 2n 1 1 4 2 2 设前两数为连续整数的勾股数组为 （x，x＋１， y），y= 2x2 2x 1 则x2 x 1 2 y2 （＊） 整理，得 2x 2 2x 1 ＝ y ，化为2 2x 1 2 2y 2 1 ，即 2x 1 2y 2x 1 2y ＝－ １， 又 1 2 1 2 ＝－１，∴ 1 故取 2x 2y ＝ 1 2n 1 2n 1 2 2x 1 1 2 ＝－１（ｎ Ｎ）， 2y ＝ 1 2n 1 4解之，得 x＝ 1 4 〔 1 2 2n 1＋ 2n 1 故前两数为连续整数的勾股数组是 ＋ 1 2 －２〕＋１， 〔 1 2 2n 1 2 （ 1 2n 1 － －２〕， y＝ 2 〔 1 2 2n 1 ＋ 1 1 2 〕）． 〔 1 2 － 1 2 2n 1 〕， 2 －２〕， 〔 1 2 2n 1 四、 后两数为连续奇数的勾股数 如(8， 15， 17),(12 ， 35， 37) …其公式为： 4(n+1),4(n+1) 2-1,4(n+1) 2+1(n 是正 整数). 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m2 －1,c=m2+1（m大于1的整数） .2.a= 1 （m2－n2） ,b=mn,c= （其中 m>n且是互质的奇数） . 3.a=2m,b=m2 －n2 ,c=m2+n2 （m>n,互质且一奇一偶的任意正整数） . 1 （m2+n2） 下面我们把 100 以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 34 5； 512 13； 6810； 72425； 81517； 9 16