直线平面简单几何体(B)(第24课)距离(二).docxVIP

精品资源 课 题： 9 8 距离 (二 ) 教学目的： 了解异面直线的公垂线、公垂线段的定义； 掌握异面直线的距离的概念，并会解决距离的问题教学重点： 两条异面直线的距离 教学难点： 简单与复杂之间的转化，空间与平面之间的转化 授课类型： 新授课 课时安排： 1 课时 具：多媒体、实物投影仪 教学过程 ： 一、复习引入： 点到平面的距离： 已知点 P 是平面 外的任意一点， 过点 P 作 PA ，垂足为 A ，则 PA 唯一，则 PA 是点 P 到平面 的距离 即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平 面的距离 （转化为点到点的距离） B 外一点 P 与 结论：连结平面 内一点所得的线段中，垂线 段 PA 最短 A 2. 直线到与它平行平面的距离： 一条直线上的任一点到与它平行的 平面的距离 , 叫做这条直线到平面的距离 ( 转化为点面距离 ) 3．两个平行平面的公垂线、公垂线段： （ 1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线， C 叫做两个平面的公垂线 2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段 3）两个平行平面的公垂线段都相等 4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长 4．两个平行平面的距离： 两个平行平面的公垂线段的长 度叫做两个平行平面的距离 二、讲解新课： 1 异面直线的公垂线： 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公 垂线． 2．公垂线唯一： 任意两条异面直线有且只有一条公垂线 证明：设 a,b 是两条异面直线．在 b 上任取一点 P ，过 P 引 a // a ， 设 b, a 确定平面 ，则 a // ．在 a 上任取一点 Q ，过 Q 引 QM ，  P A B l D 欢下载 精品资源 垂足为 M ，设 a和QM 确定的平面 与平面 相交于直线 c ， c与 b 相交于点 B ，在 内作 BA // MQ ，交 a 于点 A ， 则 AB , AB b, AB a ，又∵ a // a ，∴ AB a ， AB是 a, b 的公垂线段， 如果还有直线 A B 也是 a, b 的公垂线， 则 A B b, A B a, 于是 A B a ， A B a ， ∴ A B // AB, A B 和AB共面 ，即 a,b 共面，这与 a, b 是两条异面直线矛盾， 所以，两条异面直线的公垂线只有一条 3．两条异面直线的公垂线段： 两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分， 叫做两条异面直线的公垂线段； 4．公垂线段最短： 两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的 线段中最短的一条； 5．两条异面直线的距离： 两条异面直线的公垂线段的长度 说明 ：两条异面直线的距离 AB 即为直线 a 到平面 的距离 即两条异面直线的 距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离 用向量法求距离的公式：⑴异面直线 a,b 之间的距离： AB n a, n b, A a, B b 。 d ，其中 n | n | ⑵直线 a 与平面 之间的距离： AB n a, B 。 n 是平面 d ，其中 A 的法向量。 | n | ⑶两平行平面 , 之间的距离： AB n , B 。 n 是平面 d ，其中 A 的法向量。 | n | ⑷点 A 到平面 的距离： 欢下载 精品资源 AB n d | n | ，其中 B ， n 是平面 的法向量。 ⑸点 A 到直线 a 的距离： AB a 2 d | AB |2 ，其中 B a ， a 是直线 a 的方向向量。 | a | ⑹两平行直线 a, b之间的距离： AB a 2 d | AB |2 ，其中 A a, B b ， a 是 a 的方向向量。 | a | 三、讲解范例（ 异面直线间距离的求法） 例 1 如图已知 a,b 是两条异面直线， 所成的角为 ，点 E, F 分别在直线 a,b 上， 线段 A A 是公垂线段，且 A E m, AF n, EF l ，求线段 A A 的长 d ． 解： EF EA A A AF ∴ | EF |2 ( EA A A AF ) ( EA A A AF ) EA EA EA A A EA AF A A EA A A A A A A AF A F E A A F A A A ∵ AA EA , AA AF , EA , AF 或 ( ) ∴ l 2 2 2 2 2EA AF m2 d 2 n2 2mncos ， EA A A AF 所以， d l 2 m2 n2 2mncos ． 说明 ：（ 1）由上例： EF 的长是异面直线上任意两点的距离， AA 的长是异面 直