河南省安阳县高中数学最新学案第2章第13课时等比数列的前n项和(二)(教师版)新人教A版必修5.docxVIP

用心爱心专心 用心爱心专心 PAGE # 第13课时等比数列的 前n项和(2) 【学习导航】 知识网络 学习要求 .进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n项和公式; . 了解杂数列求和基本思想，解决简单的杂数列求和问题。 【自学评价】 .常见的数列的前 n项的和： (1 ) 12 3 n == n(n 1) 2 n(n 1)2 n%，i2i 4n(n 1)(2n 1) n %，i2 i 4 n(n 1)(2n 1) 一 6 n .3 j i i 1 二［ n(n 1) ]2 .有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个 等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并这种方法叫做分组求和法. .错位相减法：适用于｛ an bn｝的前n项和，其中｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列; . n .裂项法：求 ^n1的前n项和时，若能将an拆分为an = bn— bn十，则￡ 2卜=”一切由 k 1 .倒序相加法 .在等比数列｛%｝中，当项数为偶数2n时，6禺=4%;项数为奇数2n—1时，S奇=a1 + qS偶 【精典范例】 1 1 【例1】求数列1+—, 2+—, 3+—的前n项和. 4 8 分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和， 因此可以分组求 和法. 【解】 听课随笔 S Sn = (1 +L + 2 =(1 + 2 + 3 +. (2+1) + 4 ..+ n ) 1 + ( n +一, 2n ,/ 1 1 1 1 + ( — +一 +一…+一) 2 4 8 2n =n(n 1) 11 2 一 2n 【例2】设数列 圾｝为1,2x,3x2,4x3，…, nxn」川(x = 0 )求此数列前n项的和. 分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积, 相减法. 【解】 因此可以用错项 Sn =1 +2x +3x2 +4x3 + 川 +nxn」① xSn = x 2x2 3x3 |H n -1 xn」nxn 由①@彳导1 -x Sn =1 x x2 huh x 当x#1时, 1 -x Sn ‘ n ' n n,n 书 ///，、门， n 1 1 -x n 1-x—nx+nx 1—(1+nk+nx -nx = = 1 - x 1 - x 1 - x Sn 1-1 n xn nxn 1 2 1-x2 当x=1时， Sn =1 2 3 4 追踪训练一 10 1.求和 Z(3+2k)k 1 【答案】2076 2.求和 Sn =1 3x 5x2 7x3 (2n -1)xn- 【答案】 Sn =(2n —1)xn 1 —(2n 1)xn (1 x)(1-x)2 Sn = 3.若数列右0｝的通项公式为  an =二，则前n项和为（B ） 2n 1 A. Sn - 1 n B. 2 Sn =2 4.数列1, 2n C. Sn = n 1 — 2n A. -2n- 2n 1 C.j n 1 B. D. 12 3, 2n 的前n项和为（B） n+1 5.求和 1 —2+3 —4+5—6+…+(—1) n. 【解】 设 n=2k,则(1 —2)+(3 — 4)+ …+ [(2 k— 1)-(2 k) ] =-k=-- 2 n 1 设 n=2k— 1,贝U(1 —2)+(3 — 4)+…+ [(2 k— 3) - (2 k-2) ] +2k- 1 = -(k- 1)+2k— 1=k= 2 . _ _ _ _ , - n+1 ??-1-2+3-4+5-6+-+(- 1)n n =「2 n+1  n为偶数 n为奇数 【选修延伸】 【例3】已知数列｛ an｝中，an+1=an+2n, a1 3,求 an. 【解】由an+1 = a + 2n 得 a 得 an = an-1 + 2 即■= n 4 an -an」=2 n 2. an 4 - an2 = 2 c n ~3 an^ —an4二2 a2 - a1 =2 ??.an—a1=21H = 2n—2 1 -2 因此 an = 2 — 2 + a1 = 2 +1 点评：利用数列的求和,可求出一些递推关系为 an+i= an+ f （ n）的数列的通项公式 【例4】已知｛an｝为等比数列，且Sn=a, &n=b，（abw。），求S3n. 【解】设等比数列｛an｝的公比为q. 若q=1 （此时数列为常数列），则Sn=na1=a, S2n =2na1=b, 3b 从而有 2a=b  - S3n = 3na1 = 3a (或 S3n = 3na1 = 3a =—) 2 若qwl （即2awb）,由已知 Snai (1 -q )i -qai(1 -q2n)i -q又 Sn ai (1 -q )i -q a