(教案)棱锥与棱台(1).docxVIP

PAGE5 / NUMPAGES5 棱锥和棱台 【教学目标】 借助棱锥、棱台结构特征的学习，培养直观抽象的数学核心素养。 【教学重难点】 1．棱锥、棱台的定义和结构特征。（重点） 2．棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系。（难点） 【教学过程】 一、复习导入 思考1：长方体、正方体是多面体吗？ [提示] 是。长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义。 思考2：最简单的多面体由几个面所围成？ [提示] 四个。 二、合作探究 1．棱锥、棱台的概念 【例】 下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________。 （1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； （2）棱台的侧面一定不会是平行四边形； （3）棱锥的侧面只能是三角形； （4）棱台的各侧棱延长后必交于一点； （5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥。 （2）（3）（4） [（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台； （2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； （3）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； （4）正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点； （5）错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥。] 【教师小结】判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等。 2．几何体的计算问题 [探究问题] （1）计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？ [提示] 常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形，②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形。 （2）其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？ [提示] 是。 （3）正棱台中的计算呢？ [提示] 根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解。 【例】 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2eq \r(3)，求正三棱锥的高。 [思路探究] 正三棱锥?侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形?勾股定理求解。 [解] 作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点。 在Rt△ADO中，AD＝eq \f(3,2)， ∠OAD＝30°， 故AO＝eq \f(\f(3,2),cos∠OAD)＝eq \r(3)。 在Rt△SAO中，SA＝2eq \r(3)，AO＝eq \r(3)， 故SO＝eq \r(SA2－AO2)＝3，其高为3． 【母题探究】 1．将本例中“侧棱长为2eq \r(3)”，改为“斜高为2eq \r(3)”，则结论如何？ [解] 在Rt△SDO中，SD＝2eq \r(3)，DO＝eq \f(1,2)AO＝eq \f(\r(3),2)，故SO＝eq \r(SD2－DO2)＝eq \r(12－\f(3,4))＝eq \f(3\r(5),2)。 2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？ [解] 如图正四棱锥S-ABCD中，SO为高，连接OC．则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝eq \f(3\r(2),2)，又因为SC＝2eq \r(3)，则SO＝eq \r(SC2－OC2)＝eq \r(12－\f(9,2))＝eq \r(\f(15,2))＝eq \f(\r(30),2)。 故其高为eq \f(\r(30),2)。 【教师小结】 （一）正棱锥中的直角三角形的应用 已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高。 (1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC． (2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE。 (3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC． （二）正棱台中的直角梯形的应用 已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高， (1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1． (2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO。 (3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1． 三、课堂总结 1．棱锥的结构特征。 定义 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体 图示及相关概念 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻两侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… 2．棱台的结构特征