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第二节 函数的单调性与最值
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.
(对应学生用书第10页)
[基础知识填充]
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定
义
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2∈A
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间A上是增加的
当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间A上是减少的
图
像
描
述
自左向右看图像是上升的
自左向右看图像是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或减少的,那么称A为单调区间.
2.函数的最值
前提
函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈D,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈D,使得f(x0)=M
(3)对于任意的x∈D,都有f(x)≥M;
(4)存在x0∈D,使得f(x0)=M
结论
M为函数y=f(x)的最大值,记作ymax=f(x0)
M为函数y=f(x)的最小值,记作ymin=f(x0)
[知识拓展] 函数单调性的常用结论
(1)对任意x1,x2∈D(x1≠x2),eq \f(f?x1?-f?x2?,x1-x2)>0?f(x)在D上是增函数,eq \f(f?x1?-f?x2?,x1-x2)<0?f(x)在D上是减函数,即Δx与Δy同号增,异号减.
(2)在区间D上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.
(3)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
(5)f(x)=x+eq \f(a,x)(a>0)的单调性,如图2-2-1可知,(0,eq \r(a)]减,[eq \r(a),+∞)增,[-eq \r(a),0)减,(-∞,-eq \r(a)]增.
图2-2-1
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,x1≠x2且(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]0,则函数f(x)在区间D上是增函数.( )
(2)函数y=eq \f(1,x)的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )
(3)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数.( )
(4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( )
(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.( )
(6)所有的单调函数都有最值.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( )
A.y=|x| B.y=3-x
C.y=eq \f(1,x) D.y=-x2+4
A [y=3-x在R上递减,y=eq \f(1,x)在(0,+∞)上递减,y=-x2+4在(0,+∞)上递减,故选A.]
3.设定义在[-1,7]上的函数y=f(x)的图像如图2-2-2所示,则函数y=f(x)的增区间为________.
图2-2-2
[答案] [-1,1],[5,7]
4.函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是________.
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(1,2))) [由题意知2k+1<0,得k<-eq \f(1,2).]
5.(教材改编)已知f(x)=eq \f(2,x-1),x∈[2,6],则f(x)的最大值为________,最小值为________.
2 eq \f(2,5) [易知函数f(x)=eq \f(2,x-1)在x∈[2,6]上为减函数,故f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)=eq \f(2,5).]
(对应学生用书第11页)
确定函数的单调性(区间)
(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
(2)试讨论函数f(x)=x+eq \f(k,x)(k>0)的单调性.
(1)D [由x2-2x-80,得x4或x-2.
设t=x2-2x-8,则y=ln t为增函数.
要求函数f(x)的单调递增区间,即求函数t=x2-2x-8的单调递增区间.
∵函数t=x2-2x-8的单调递增区间为
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