高考数学一轮复习学案（北师大版理科）： 第2章 函数、导数及其应用 第11节 第1课时 导数与函数的单调性学案 理 北师大版.docVIP

第十一节　导数的应用 [考纲传真]　(教师用书独具)1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题． (对应学生用书第34页) [基础知识填充] 1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是增加的； (2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是减少的； (3)如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数． 2．函数的极值与导数 (1)极值点与极值 设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性相反或导数值异号，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值． (2)极大值点与极小值点 ①若先增后减(导数值先正后负)，则x0为极大值点； ②若先减后增(导数值先负后正)，则x0为极小值点． (3)可求导函数极值的步骤： ①求f′(x)； ②解方程f′(x)＝0； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的解x0的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点． 3．函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [知识拓展] 1．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)0.(　　) (2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．(　　) (3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　) (4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(　　) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　) (6)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)× 2．(教材改编)f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为(　　) A．(0,4)　　　　　　 B．(0,2) C．(4，＋∞) D．(－∞，0) A　[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)＜0，得0＜x＜4， 所以单调递减区间为(0,4)．] 3．如图2-11-1所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图像，则下列判断中正确的是(　　) 图2-11-1 A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(1,3)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(3,4)上是增函数 A　[当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．] 4．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________． 8　[y′＝6x2－4x，令y′＝0， 得x＝0或x＝eq \f(2,3). ∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝－eq \f(8,27)， f(2)＝8，∴最大值为8.] 5．函数f(x)＝x－aln x(a＞0)的极小值为________． a－aln a　[f(x)的定义域为(0，＋∞)， 易知f′(x)＝1－eq \f(a,x). 由f′(x)＝0，解得x＝a(a＞0)． 又当x∈(0，a)时，f′(