高考数学一轮复习学案（北师大版理科）： 第2章 函数、导数及其应用 第11节 第2课时 导数与函数的极值、最值学案 理 北师大版.docVIP

第2课时　导数与函数的极值、最值 (对应学生用书第38页) 利用导数解决函数的极值问题 ◎角度1　根据函数图像判断函数极值的情况 　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图2-11-3所示，则下列结论中一定成立的是(　　) 图2-11-3 A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) D　[由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．] ◎角度2　求已知函数的极值 　(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　) A．－1　　 B．－2e－3 C．5e－3 D．1 A　[函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1， 则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1 ＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]． 由x＝－2是函数f(x)的极值点得 f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3 所以a＝－1. 所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)． 由ex－10恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0， 且x－2时，f′(x)0；－2x1时，f′(x)0； x1时，f′(x)0. 所以x＝1是函数f(x)的极小值点． 所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1. 故选A．] ◎角度3　已知函数极值求参数的值或范围 　(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________. (2)(2018·湖北调考)已知函数f(x)＝－eq \f(1,2)x2＋4x－3ln x在(t，t＋1)上存在极值点，则实数t的取值范围为________． (1)－7　(2)(0,1)∪(2,3)　[(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋3a－b－1＝0，,b－6a＋3＝0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝9，)) 经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7. (2)由题意得f′(x)＝－x＋4－eq \f(3,x)＝－eq \f(x2－4x＋3,x)＝－eq \f((x－3)(x－1),x)(x＞0)．由f′(x)＝0得x＝1或x＝3，所以要使函数f(x)在(t，t＋1)上存在极值点，则t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，即0＜t＜1或2＜t＜3，所以实数t的取值范围为(0,1)∪(2,3)．] [规律方法]　1.利用导数研究函数极值问题的一般流程 2．已知函数极值点和极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． [跟踪训练]　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则eq \f(a,b)的值为(　　) 【导学号 A．－eq \f(2,3)　　　　　 B．－2 C．－2或－eq \f(2,3) D．不存在 (2)函数y＝2x－eq \f(1,x2)的极大值是________． (1)C　(2)－3　[(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意知f′(1)＝3＋2a＋b＝0，∴b＝－3－2a①，又f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10②，将①代入②整理得a2＋8a＋12＝0，解得a＝－2或a＝－6.当a＝－2时，b ∴eq \f(a,b)＝－2或eq \f(a,b)＝－eq \f(2,3)，故选C． (2)y′＝2＋eq \f(2,x3)，令y′＝0，得x＝－1. 当x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜0时，y′＜0；当x＞0时，y′＞0， 所以当x＝－1时，y取极大值－3.] 利用导数解决函数的最值问题 　(2017·北京高考)已知函数f(x)＝excos x－x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\v