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第2讲 函数与方程思想、数形结合思想
一 函数与方程思想
函数思想
方程思想
函数思想是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决的思想
方程思想就是建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题得到解决的思想
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的,是相辅相成的,函数思想重在对问题进行动态的研究,方程思想则是在动中求静,研究运动中的等量关系
构建“函数关系”解决问题
[典型例题]
已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,bn=eq \f(1,Sn+1)+eq \f(1,Sn+2)+…+eq \f(1,S2n),若对任意的n∈N*,不等式bn≤k恒成立,求实数k的最小值.
【解】 (1)因为a1=2,aeq \o\al(2,3)=a2(a4+1),
又因为{an}是正项等差数列,所以公差d≥0,
所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),解得d=2或d=-1(舍去),
所以数列{an}的通项公式an=2n.
(2)由(1)知Sn=n(n+1),则eq \f(1,Sn)=eq \f(1,n(n+1))=eq \f(1,n)-eq \f(1,n+1).
所以bn=eq \f(1,Sn+1)+eq \f(1,Sn+2)+…+eq \f(1,S2n)
=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n+1)-\f(1,n+2)))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n+2)-\f(1,n+3)))+…+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)-\f(1,2n+1)))=eq \f(1,n+1)-eq \f(1,2n+1)=eq \f(n,2n2+3n+1)=eq \f(1,2n+\f(1,n)+3),
令f(x)=2x+eq \f(1,x)(x≥1),则f′(x)=2-eq \f(1,x2)0恒成立,所以f(x)在[1,+∞)上是增函数,
所以当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max=eq \f(1,6),
要使对任意的正整数n,不等式bn≤k恒成立,
则须使k≥(bn)max=eq \f(1,6),
所以实数k的最小值为eq \f(1,6).
eq \a\vs4\al()
数列是定义在正整数集上的特殊函数,等差、等比数列的通项公式,前n项和公式都具有隐含的函数关系,都可以看成关于n的函数,在解等差数列、等比数列问题时,有意识地发现其函数关系,从而用函数思想或函数方法研究、解决问题,不仅能获得简便的解法,而且能促进科学思维的培养,提高发散思维的水平.
[对点训练]
1.对于满足0≤p≤4的所有实数p,使不等式x2+px4x+p-3成立的x的取值范围是________.
解析:设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,
则当x=1时,f(p)=0.所以x≠1.
f(p)在0≤p≤4时恒为正,等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(0)0,,f(4)0,))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1((x-3)(x-1)0,,x2-10,))解得x3或x-1.
故x的取值范围为(-∞,-1)∪(3,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)
2.(2018·高考北京卷)若△ABC的面积为eq \f(\r(3),4)(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=________;eq \f(c,a)的取值范围是________.
解析:△ABC的面积S=eq \f(1,2)acsin B=eq \f(\r(3),4)(a2+c2-b2)=eq \f(\r(3),4)×2accos B,所以tan B=eq \r(3),因为0°∠B180°,所以∠B=60°.因为∠C为钝角,所以0°∠A30°,所以0tan Aeq \f(\r(3),3),所以eq \f(c,a)=eq \f(sin C,sin A)=eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)-∠A)),sin A)=eq \f(sin\f(2π,3)cos A-cos\f(2π,3)sin A,sin A)=eq \f(\r(3),2tan A)+eq \f(1,2)2,故eq \f(c,a)的取值范围为(2,+∞).
答案:60° (2,+∞)
3.已知a,b,c为空间中的三个向量,又a,b是两个相互垂直的单位向量,向量c满足|c|=3,c·a=2,c·b
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