全称量词与存在量词.docVIP

eq \a\vs4\al(第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词) [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2.理解全称量词与存在量词的意义． 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1.新课标对三个逻辑联结词的要求虽然只是了解，但这三个逻辑联结词却是高考试题中的常客，多为选择题，其中，综合其他知识对含有这几个逻辑联结词的命题的判断问题成为高考命题的一个热点．如2012年辽宁T4等． 2.对全称量词与存在量词的考查，主要是结合其他知识点考查含有全称量词与存在量词的命题的判断，多为选择题或填空题，试题难度一般．如2011年湖北T2等. [归纳·知识整合] 1．命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 [探究]　1.逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算中的“交”“并”“补”有什么关系？ 提示：“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“交”“并”“补”，因此，常常借助集合的“交”“并”“补”的意义来解答由“且”“或”“非”三个联结词构成的命题问题． 2．全称量词和存在量词 (1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“?”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“?”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：?x∈M，p(x)． (3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：?x0∈M，p(x0)． 3．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，綈p(x0) ?x0∈M，p(x0) ?x∈M，綈p(x) [探究]　2.全称命题(特称命题)的否定还是全称命题(特称命题)吗？其真假性与原命题有什么关系？ 提示：不是．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性与原命题恰好相反． [自测·牛刀小试] 1．(教材改编题)下列命题是真命题的是(　　) ①27是3的倍数或27是9的倍数； ②27是3的倍数且27是9的倍数； ③平行四边形的对角线互相垂直且平分； ④平行四边形的对角线互相垂直或平分； ⑤1是方程x－1＝0的根，且是方程x2－5x＋4＝0的根． A．①③⑤　　　　　　　　 B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 解析：选C　平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，故③错误． 2．命题p：“已知0xeq \f(π,2)，若xcos x1，则xcos2x1”的否定为(　　) A．已知x≤0或x≥eq \f(π,2)，若xcos x1，则xcos2x≥1 B．已知x≤0或x≥eq \f(π,2)，若xcos x≥1，则xcos2x≥1 C．已知0xeq \f(π,2)，若xcos x1，则xcos2x≥1 D．已知0xeq \f(π,2)，若xcos x≥1，则xcos2x≥1 解析：选C　在命题p中，“已知0xeq \f(π,2)”为大前提，在命题的否定中不能改变，命题“若A，则B”的否定是“若A，则綈B”，故命题p的否定为：已知0xeq \f(π,2)，若xcos x1，则xcos2x≥1. 3．下列命题中的假命题是(　　) A．?x∈R,2x－10　　　　　 B．?x∈N*，(x－1)20 C．?x0∈R，lg x01 D．?x0∈R，tan x0＝2 解析：选B　A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－10；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)20矛盾；C项，当x0＝eq \f(1,10)时，lg eq \f(1,10)＝－11；D项，当x0∈R时，tan x0∈R，∴?x0∈R，tan x0＝2. 4．(教材改编题)(1)命题p：任意两个等边三角形都是相似的，则綈p：__________. (2)命题p：?x0∈R，xeq \o\al(2,0)＋2x0＋2＝0，则綈p：__________. 解析：(1)全称命题的否定为特称命题，则綈p：存在两个等边三角形，它们不相似． (2)特称命题的否定为全称命题，则 綈p：?x∈R，x2＋2x＋2≠0 答案：(1)存在两个等边三角形，它们不相似 (2)?x∈R，x2＋2x＋2≠0 5．已知命题p：?x0∈R，xeq \o\al( 2,0)＋eq \f(1,x\o\al( 2,0))≤2；命题q是命题p的否定，则命题p、q、p∧q、p∨q中是真命题的是________． 解析：x0＝±1时，p成立，所以p真，q假，p∧q假，p∨q真． 答案：p、p∨q 含有逻辑联结词的命题的真假判断 [例1]