第3章函数的应用1.示范教案（1.1 方程的根与函数的零点 第2课时）.docVIP

第2课时 方程的根与函数的零点 复习 提出问题 ①已知函数f(x)=mx2+mx+1没有零点，求实数m的范围. ②证明函数f(x)=x2+6x+10没有零点. ③已知函数f(x)=2mx2-x+m有一个零点，求实数m的范围. ④已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1有两个零点，求实数m的范围. 活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果：①因为Δ=m2-4m0或m=0,∴0≤m4. ②因为Δ=36-40=-40,∴没有零点. ③Δ=1-4m2=0或m=0,∴m=或m=或m=0. ④Δ=16m2-8(m+1)(2m-1)=-8m+80且2(m+1)≠0,∴m1且m≠-1. 导入新课 思路1.(情景导入) 歌中唱到：再“穿过”一条烦恼的河流明天就会到达，同学们知道生活中“穿过”的含义. 请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过”x轴的？ 学生思考或讨论回答：利用函数值的符号，即f(a)f(b)0. 思路2.(直接导入) 教师直接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出,怎样讨论其零点? ②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法. 活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果：①在闭区间［a,b］上，若f(a)f(b)0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点. ②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理. 因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点,可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点.” 应用示例 思路1 例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数. 活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示: 因为方程lnx+2x-6=0的根不易求得，函数f(x)=lnx+2x-6的图象不易画出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？可以利用f(a)f(b)0，及函数单调性. 解：利用计算机作出x，f(x)的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9450 12.0794 14.1972 由表和图3-1-1-15可知，f(2)0,f(3)0,则f(2)f(3)0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点.由于函数在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点. 图3-1-1-15 图3-1-1-16 变式训练 证明函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点. 证明:如图3-1-1-16,因为f(1)=-7,f(10)=3, ∴f(1)f(10)0. ∴函数f(x)=lgx+x-8有一个零点. ∵y=lgx为增函数，y=x-8是增函数， ∴函数f(x)=lgx+x-8是增函数. ∴函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点. 点评：判断零点的个数:(1)利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性. 例2已知函数f(x)=3x+, (1)判断函数零点的个数. (2)找出零点所在区间. 解：(1)设g(x)=3x,h(x)=, 作出它们的图象(图3-1-1-17)，两函数图象交点的个数即为f(x)零点的个数. 所以两函数图象有且仅有一个交点，即函数f(x)=3x+有且仅有一个零点. 图3-1-1-17 (2)因为f(0)=-1,f(1)=2.5,所以零点x∈(0,1). 变式训练 证明函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点. 证明:利用计算机作出x，f(x)的对应值表： x -1 0 1 2 3 4 5 6 7 f(x) -7.5 -3 2 8 16 28 48 84 172 图3-1-1-18 由表和图3-1-1-18可知，f(0)0,f(1)0,则f(0)f(1)0，这说明f(x)在区间内有零点.下面证明函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数. 设x1,x2∈(-∞,+∞),且x1x2， f(x1)-f(x2)=2+4x1-4-(2+4x2-4)=2-2+4(x1-x2)=2(2-x2-1)+4(x1-x2). ∵x1x2，∴x1-x20,2-x2-10,20. ∴f(x1)-f(x2)0. ∴函数在定义域(-∞,+