高考数学一轮复习学案（北师大版理科）： 第2章 函数、导数及其应用 第10节 变化率与导数、计算导数学案 理 北师大版.docVIP

第十节　变化率与导数、计算导数 [考纲传真]　(教师用书独具)1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图像直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝eq \f(1,x)，y＝x2，y＝x3，y＝eq \r(x)的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数． (对应学生用书第32页) [基础知识填充] 1．导数与导数的概念 (1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示， 记作f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do14(x1→x0)) eq \f(f(x1)－f(x0),x1－x0)＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx). (2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)，切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α是实数) f′(x)＝αxα－1 y＝tan x y′＝eq \f(1,cos2x) y＝cot x y′＝－eq \f(1,sin2x) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0，a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ln x f′(x)＝eq \f(1,x) f(x)＝logax (a＞0，且a≠1) f′(x)＝eq \f(1,xln a) 4.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝eq \f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为yx′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)·φ′(x)． [知识拓展] 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,f(x))))eq \s\up7(′)＝－eq \f(f′(x),[f(x)]2)(f(x)≠0)． 3．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　) (2)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．(　　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2．(教材改编)若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于(　　) A．0　　　　　　　　 B．e C．2e D．e2 C　[∵f′(x)＝ex＋x·ex，∴f′(1)＝2e.] 3．有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋eq \f(3,t)(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(　　) A．eq \f(19,4)　　　　B．eq \f(17,4)　　　　C．eq \f(15,4)　　　　D．eq \f(13,4) D　[由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－eq \f(3,t2)，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－eq \f(3,22)＝eq \f(13,4).]　 4．(2017