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第2讲 圆锥曲线的标准方程与几何性质
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1.椭圆的标准方程与几何性质
第17题
第18题
江苏高考对本讲考查重点是圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率),以及圆锥曲线之间的关系,突出考查基础知识、基本技能,一般属于中档题.
2.双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
第7题
第8题
第8题
1.必记的概念与定理
(1)从方程的形式看,在直角坐标系中,椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线的方程都是二元二次的,所以也叫二次曲线. 这三种曲线都可以是由平面截圆锥面得到的曲线,因而才称之为圆锥曲线.
(2)从点的集合(或轨迹)的观点看,它们都是与定点和定直线距离的比是常数e 的点的集合(或轨迹),这个定点是它们的焦点,定直线是它们的准线,只是由于离心率e 取值范围的不同,而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线.
(3)圆锥曲线第二定义把“曲线上的点M”“焦点F”“相应准线l”和“离心率e”四者巧妙地联系起来,所以在圆锥曲线的问题中,凡与准线、离心率、焦点有关的问题应充分利用第二定义.
2.记住几个常用的公式与结论
(1)椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A、B是不等的常数,AB0时,表示焦点在y轴上的椭圆;BA0时,表示焦点在x轴上的椭圆;AB0时表示双曲线.
(2)与双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1有共同渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=λ(λ≠0).若已知渐近线方程为mx±ny=0,则双曲线方程可设为m2x2-n2y2=λ(λ≠0).
(3)设直线l(斜率存在)与圆锥曲线C相交于A、B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长AB=eq \r(1+k2)|x1-x2|或 eq \r(1+\f(1,k2))·|y1-y2|.
(4)通径:过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径,双曲线、椭圆的通径长为eq \f(2b2,a),过椭圆焦点的弦中通径最短;抛物线通径长是2p,过抛物线焦点的弦中通径最短.
(5)椭圆上点到焦点的最长距离为a+c,最短距离为a-c.
3.需要关注的易错易混点
(1)已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断,当焦点位置不明确时,要分两种情形讨论.
(2)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.
(3)已知渐近线方程y=mx,求离心率时,若焦点位置不确定时,m=eq \f(b,a)(m>0)或m=eq \f(a,b),故离心率有两种可能.
椭圆的标准方程与几何性质
[典型例题]
(1)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(ab0)的右焦点,直线y=eq \f(b,2)与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________.
(2)(2019·江苏名校联考)已知椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(ab0)及点B(0,a),过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A,F为椭圆的右焦点,则∠ABF=________.
【解析】 (1)由题意得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),2)a,\f(b,2))),Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a,\f(b,2))),F(c,0),则由∠BFC=90°得eq \o(BF,\s\up6(→))·eq \o(CF,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c+\f(\r(3),2)a,-\f(b,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c-\f(\r(3),2)a,-\f(b,2)))=c2-eq \f(3,4)a2+eq \f(1,4)b2=0,化简得eq \r(3)c=eq \r(2)a,则离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(2),\r(3))=eq \f(\r(6),3).
(2)法一:由题意知,切线的斜率存在,设切线方程为y=kx+a(k0),与椭圆方程联立,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=kx+a,\f(x2,a2)+\f(y2,b2)=1)),得b2x2+a2(kx+a)2-a2b2=0,即(b2+a2k2)x2+2a3kx+a4-a2b2=0,由Δ=4a6k2-4(b2+a2k2)(a4-a2b2)=0,得k=eq \f(c,
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